Exercício 33 Considere o subespaço
, do espaço vetorial
, definido por:
Determine uma base para o subespaço
.
Passo 1
O enunciado dá o subespaço
de
definido por
O que o problema pede: determinar uma base para
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Um polinômio geral de grau ≤ 2 tem a forma
, com . - A derivada desse polinômio é
, portanto . - A condição que define
é uma equação linear que envolve a integral de em e o valor .
Nenhuma outra informação é necessária.
Passo 2
Vamos calcular a integral
para o polinômio geral
. Integral é linear, então integramos termo a termo:
Calcule cada parcela:
Somando,
Passo 3
A condição que define
é
Substituindo
e
, obtemos a relação entre os coeficientes:
Passo 4
Isolando
a partir da equação acima:
Isso mostra que
é determinado por
e
. Logo
e
podem ser escolhidos livremente (são parâmetros livres) e
é dado por essa fórmula. Como o espaço
tem dimensão
e há uma restrição linear, o subespaço
tem dimensão
.
Passo 5
Escrevemos o polinômio
em função de
e
, substituindo
:
Agrupando termos com
e com
:
Isso mostra que qualquer
é combinação linear de dois polinômios:
Passo 6
Verificamos que esses dois polinômios geram
e são linearmente independentes:
- Geração: já mostramos que todo
é para alguns , logo estão no span desses dois vetores. - Independência linear: suponha
(polinômio nulo). Igualando coeficientes: - coeficiente de
: , - coeficiente de
: , - coeficiente constante:
(já obtido).
Portanto, então são independentes.
Assimé uma base de .
- coeficiente de
Passo 7
Opcionalmente podemos escolher uma base equivalente sem frações, escalando o segundo vetor por
(escalar não afeta independência nem geração): tomar
Esse conjunto também é uma base de
e às vezes é preferível por ter coeficientes inteiros. Podemos checar rapidamente que cada vetor satisfaz a condição original:
- Para
: e . Soma . - Para
: e . Soma .
Portanto ambos pertencem a.