Exercício 33 Considere o subespaço U, do espaço vetorial \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}), definido por:
U=\left\{p \in \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}): \int_{-1}^{1} p(x) d x+\frac{d p}{d x}(0)=0\right\}
Determine uma base para o subespaço U.

Passo 1

O enunciado dá o subespaço U de \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) definido por
U=\left\{p \in \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}): \int_{-1}^{1} p(x)\,dx+\frac{dp}{dx}(0)=0\right\}.
O que o problema pede: determinar uma base para U.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Um polinômio geral de grau ≤ 2 tem a forma \displaystyle p(x)=a+bx+cx^{2}, com a,b,c\in\mathbb{R}.
  • A derivada desse polinômio é \displaystyle p'(x)=b+2cx, portanto \displaystyle p'(0)=b.
  • A condição que define U é uma equação linear que envolve a integral de p em [-1,1] e o valor \,p'(0)=b.
    Nenhuma outra informação é necessária.

Passo 2

Vamos calcular a integral \displaystyle \int_{-1}^{1} p(x)\,dx para o polinômio geral \displaystyle p(x)=a+bx+cx^{2}. Integral é linear, então integramos termo a termo:
\int_{-1}^{1} p(x)\,dx = \int_{-1}^{1} a\,dx + \int_{-1}^{1} bx\,dx + \int_{-1}^{1} cx^{2}\,dx.
Calcule cada parcela:
\int_{-1}^{1} a\,dx = a\big[x\big]_{-1}^{1}=a(1-(-1))=2a,
\int_{-1}^{1} bx\,dx = b\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{-1}^{1}=b\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)=0,
\int_{-1}^{1} cx^{2}\,dx = c\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{1}=c\left(\frac{1}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)\right)=\frac{2c}{3}.
Somando,
\int_{-1}^{1} p(x)\,dx = 2a + 0 + \frac{2c}{3} = 2a+\frac{2c}{3}.

Passo 3

A condição que define U é
\int_{-1}^{1} p(x)\,dx + p'(0) = 0.
Substituindo \displaystyle \int_{-1}^{1} p(x)\,dx = 2a+\frac{2c}{3} e \displaystyle p'(0)=b, obtemos a relação entre os coeficientes:
2a+\frac{2c}{3}+b=0.

Passo 4

Isolando b a partir da equação acima:
b = -\;2a - \frac{2c}{3}.
Isso mostra que b é determinado por a e c. Logo a e c podem ser escolhidos livremente (são parâmetros livres) e b é dado por essa fórmula. Como o espaço \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) tem dimensão 3 e há uma restrição linear, o subespaço U tem dimensão 2.

Passo 5

Escrevemos o polinômio p em função de a e c, substituindo b:
p(x)=a+bx+cx^{2}=a+\left(-2a-\frac{2c}{3}\right)x+cx^{2}.
Agrupando termos com a e com c:
p(x)=a\big(1-2x\big)+c\left(x^{2}-\frac{2}{3}x\right).
Isso mostra que qualquer p\in U é combinação linear de dois polinômios:
1-2x\quad\text{e}\quad x^{2}-\frac{2}{3}x.

Passo 6

Verificamos que esses dois polinômios geram U e são linearmente independentes:
  • Geração: já mostramos que todo p\in U é p(x)=a(1-2x)+c\big(x^{2}-\tfrac{2}{3}x\big) para alguns a,c, logo estão no span desses dois vetores.
  • Independência linear: suponha \alpha(1-2x)+\beta\big(x^{2}-\tfrac{2}{3}x\big)=0 (polinômio nulo). Igualando coeficientes:
    • coeficiente de x^{2}: \beta=0,
    • coeficiente de x: -2\alpha - \tfrac{2}{3}\beta = -2\alpha = 0 \Rightarrow \alpha=0,
    • coeficiente constante: \alpha=0 (já obtido).
      Portanto \alpha=\beta=0, então são independentes.
      Assim \{\,1-2x,\;x^{2}-\tfrac{2}{3}x\,\} é uma base de U.

Passo 7

Opcionalmente podemos escolher uma base equivalente sem frações, escalando o segundo vetor por 3 (escalar não afeta independência nem geração): tomar
\{\,1-2x,\;3x^{2}-2x\,\}.
Esse conjunto também é uma base de U e às vezes é preferível por ter coeficientes inteiros. Podemos checar rapidamente que cada vetor satisfaz a condição original:
  • Para p(x)=1-2x: \int_{-1}^{1}(1-2x)\,dx = 2 - 0 = 2 e p'(0)=-2. Soma 2+(-2)=0.
  • Para p(x)=3x^{2}-2x: \int_{-1}^{1}(3x^{2}-2x)\,dx = 3\cdot\frac{2}{3} - 0 = 2 e p'(0)=-2. Soma 2+(-2)=0.
    Portanto ambos pertencem a U.

Resposta

\{\,1-2x,\;3x^{2}-2x\,\}

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