Exercício 29 Considere o espaço vetorial real \mathbb{R}^{3} e os subespaços gerados
U=[(1,0,0),(1,1,1)] \quad e \quad W=[(0,1,0),(0,0,1)] .
Determine um sistema de geradores para o subespaço V=U \cap W.
Passo 1
O enunciado dá os subespaços de \mathbb{R}^3
U = [\,(1,0,0),\,(1,1,1)\,]
e
W = [\,(0,1,0),\,(0,0,1)\,]
e pede para determinar um sistema de geradores para o subespaço
V = U \cap W.
As informações relevantes são: os geradores (ou vetores que geram) de U e de W dados explicitamente, e a tarefa é achar todos os vetores que pertencem simultaneamente a U e a W (isto é, encontrar um conjunto de vetores que gere esse espaço de interseção).
Passo 2
Vamos escrever um vetor genérico de U como combinação linear dos geradores dados. Isso significa que todo vetor u\in U pode ser escrito como
u = \alpha(1,0,0) + \beta(1,1,1),
onde \alpha,\beta\in\mathbb{R} são coeficientes escalares. Agora calculamos a soma coordenada a coordenada:
u = (\alpha+\beta,\;\beta,\;\beta).
Aqui \alpha+\beta é a primeira coordenada, e \beta aparece na segunda e na terceira coordenada.
Passo 3
Escrevemos também um vetor genérico de W como combinação linear dos geradores de W. Todo vetor w\in W tem a forma
w = \gamma(0,1,0) + \delta(0,0,1),
onde \gamma,\delta\in\mathbb{R}. Fazendo as somas coordenada a coordenada obtemos
w = (0,\;\gamma,\;\delta).
Ou seja, a primeira coordenada de qualquer vetor de W é zero, a segunda é \gamma e a terceira é \delta.
Passo 4
Para um vetor v\) pertencer a \(V=U\cap W\) ele deve poder ser escrito simultaneamente nas duas formas acima. Logo existe \(\alpha,\beta,\gamma,\delta\in\mathbb{R}\) tais que
\[(\alpha+\beta,\;\beta,\;\beta) = (0,\;\gamma,\;\delta).
Igualando coordenadas obtemos o sistema de equações
Da primeira equação vem \alpha = -\beta\]. Das outras duas vem \(\gamma=\beta e \delta=\beta. Não há nenhuma outra restrição: \beta pode ser qualquer número real.]
Passo 5
Substituindo essas relações na forma de u obtemos todos os vetores de V como
v = (\alpha+\beta,\;\beta,\;\beta) = (0,\;\beta,\;\beta).
Fatorando \beta temos
v = \beta(0,1,1),\quad \beta\in\mathbb{R}.
Portanto todos os vetores de V são múltiplos escalares de (0,1,1). Isso mostra que
V = [\,(0,1,1)\,].
Passo 6
Vamos verificar rapidamente que (0,1,1) realmente está em U e em W, por completo rigor e para você usar na prova: em U podemos escolher \alpha=-1 e \beta=1 para ter
-1(1,0,0)+1(1,1,1) = (0,1,1).
Em W basta tomar \gamma=1 e \delta=1 para obter
1(0,1,0)+1(0,0,1) = (0,1,1).
Logo (0,1,1)\in U\cap W. Como todo vetor da interseção é múltiplo de (0,1,1), o conjunto \{(0,1,1)\} gera V. Note também que V é um subespaço unidimensional (seu núcleo gerador tem um vetor não nulo).