Exercício 32. Determine, em cada item, qual dos números é maior:
2^{2} ou 2^{-2}

Passo 1

O enunciado pede para decidir qual dos dois números é maior. As informações dadas são:
  • Temos o número 2^{2}.
  • Temos o número 2^{-2}.
    A pergunta explícita: qual dos dois é maior, 2^{2} ou 2^{-2}?

Passo 2

Primeira ferramenta que precisamos: a regra de expoentes para expoente negativo. Vou explicar devagarinho, sem pressa.
  • Quando temos a^{n} com n inteiro positivo, isso significa multiplicar a por ele mesmo n vezes. Por exemplo, 2^{2}=2\cdot2.
  • A definição para expoente negativo é
a^{-n}=\frac{1}{a^{n}},
onde a\neq 0 e n>0. Em palavras: colocar um expoente negativo é o mesmo que tomar o inverso multiplicativo (recíproco) de a^{n}. Isso vem da propriedade dos expoentes
a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n},
que também vale para inteiros negativos; se escolhermos m=n e somarmos n com -n obtemos a^{n}\cdot a^{-n}=a^{0}=1, então necessariamente a^{-n}=1/a^{n}.

Passo 3

Calculemos 2^{2} direto, passo a passo:
2^{2}=2\cdot 2=4.
Então 2^{2}=4.

Passo 4

Agora calculemos 2^{-2} usando a regra do expoente negativo que vimos:
2^{-2}=\frac{1}{2^{2}}.
Já sabemos de 2^{2} que vale 4, então
2^{-2}=\frac{1}{4}.

Passo 5

Agora comparemos os dois resultados: temos 2^{2}=4 e 2^{-2}=\dfrac{1}{4}.
Uma forma simples de ver qual é maior é observar que 4 é claramente maior que \dfrac{1}{4}, porque multiplicando \dfrac{1}{4} por 16 obtém-se 4. Ou, usando uma razão,
\frac{2^{2}}{2^{-2}}=2^{2-(-2)}=2^{4}=16>1,
o que mostra que 2^{2} é maior que 2^{-2}.

Resposta

2^{2} é maior que 2^{-2}.

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