Exercício 32. Determine, em cada item, qual dos números é maior:
2^{\frac{1}{2}} ou 2^{\frac{1}{3}}

Passo 1

O enunciado pede para comparar dois números e dizer qual é o maior. Informações dadas:
  • Os dois números são 2^{\frac{1}{2}} e 2^{\frac{1}{3}}.
  • Ambos são positivos (pois potências de 2>0 com expoentes reais racionais).
    A pergunta explícita: qual desses dois números é maior?

Passo 2

Observação útil (regra que vamos usar): para quaisquer números positivos x>0 e inteiro n\ge 1, a operação de elevar ao n-ésimo poder preserva a ordem, isto é, se a>b>0 então a^n>b^n. Raciocínio curto que justifica isso: multiplicando a>b por a (positivo) repetidamente obtém-se a^2>b a, depois a^3>b a^2 e assim por diante; para a,b>0 essa propriedade vale e, portanto, comparar a e b é equivalente a comparar a^n e b^n.

Passo 3

Estratégia prática: escolher um inteiro n que elimine as frações nos expoentes. Como os denominadores são 2 e 3, um bom n é o mínimo múltiplo comum, n=6. Então elevamos ambos os números à sexta potência e comparamos:
\bigl(2^{\frac{1}{2}}\bigr)^{6}=2^{\frac{6}{2}}=2^{3}=8,
\bigl(2^{\frac{1}{3}}\bigr)^{6}=2^{\frac{6}{3}}=2^{2}=4.
Como 8>4 e elevar à sexta potência (uma função monótona crescente em números positivos) preserva a ordem, concluímos que
2^{\frac{1}{2}}>2^{\frac{1}{3}}.

Passo 4

Intuição numérica (para reforçar): \,2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}\approx 1,414 enquanto \,2^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{2}\approx 1,260, confirmando que a raiz quadrada de 2 é maior que a raiz cúbica de 2. Dica geral: para base >1, quanto maior o expoente, maior a potência; se a base estivesse entre 0 e 1, a ordem seria invertida.

Resposta

2^{\frac{1}{2}}>2^{\frac{1}{3}}

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