Exercício 32. Determine, em cada item, qual dos números é maior:
ou
Passo 1
O enunciado pede para comparar dois números e dizer qual é o maior. Informações dadas:
- Os dois números são
e . - Ambos são positivos (pois potências de
com expoentes reais racionais).
A pergunta explícita: qual desses dois números é maior?
Passo 2
Observação útil (regra que vamos usar): para quaisquer números positivos
e inteiro
, a operação de elevar ao
-ésimo poder preserva a ordem, isto é, se
então
. Raciocínio curto que justifica isso: multiplicando
por
(positivo) repetidamente obtém-se
, depois
e assim por diante; para
essa propriedade vale e, portanto, comparar
e
é equivalente a comparar
e
.
Passo 3
Estratégia prática: escolher um inteiro
que elimine as frações nos expoentes. Como os denominadores são
e
, um bom
é o mínimo múltiplo comum,
. Então elevamos ambos os números à sexta potência e comparamos:
Como
e elevar à sexta potência (uma função monótona crescente em números positivos) preserva a ordem, concluímos que
Passo 4
Intuição numérica (para reforçar):
enquanto
, confirmando que a raiz quadrada de
é maior que a raiz cúbica de
. Dica geral: para base
, quanto maior o expoente, maior a potência; se a base estivesse entre
e
, a ordem seria invertida.