Exercício 32. Determine:
Passo 1
O enunciado pede para determinar o valor do limite lateral
Informações dadas:
- A função considerada é
. - O ponto de aproximação é
, mas apenas pela direita (isto é, e ).
A tarefa é dizer qual é o comportamento do valor dequando se aproxima de vindo de valores maiores.
Passo 2
Intuição numérica (para sentir o comportamento): considere valores de
cada vez mais próximos de
pela direita.
Esses exemplos mostram que, conforme
se aproxima de
por valores maiores, o denominador
fica positivo e muito pequeno, e o valor da fração cresce sem limite para valores positivos muito grandes. Isso sugere que o limite é
.
Passo 3
Substituição para ver de forma algébrica: escreva
com
e
. Então
Quando
é um número positivo que tende a
, a quantidade
tende a
(porque o inverso de um positivo que vai a zero fica arbitrariamente grande e positivo). Logo a expressão tende a
.
Passo 4
Prova formal do limite divergente (definição com
): dizer que
significa: para todo
existe
tal que, se
(ou seja,
), então
.
Escolha
. Se
então
e, como
,
Portanto, para todo
existe
que garante
sempre que
. Isso estabelece rigorosamente que o limite lateral pela direita é
.
Passo 5
Interpretação final e dica rápida para a prova: sempre que ao aproximar
de um ponto o denominador de uma fração tende a
com sinal positivo, o quociente tende a
; se o denominador tender a
com sinal negativo, tende a
. Aqui temos sinal positivo (porque
), então o limite é
.