Exercício 32. Determine:
\lim _{x \rightarrow 2^{+}} \frac{1}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o valor do limite lateral
\lim_{x\to 2^{+}} \frac{1}{x-2}.
Informações dadas:
  • A função considerada é f(x)=\dfrac{1}{x-2}.
  • O ponto de aproximação é x=2, mas apenas pela direita (isto é, x>2 e x\to2).
    A tarefa é dizer qual é o comportamento do valor de f(x) quando x se aproxima de 2 vindo de valores maiores.

Passo 2

Intuição numérica (para sentir o comportamento): considere valores de x cada vez mais próximos de 2 pela direita.
\text{Se }x=2{,}1\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{x-2}=\frac{1}{0{,}1}=10,
\text{Se }x=2{,}01\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{x-2}=\frac{1}{0{,}01}=100,
\text{Se }x=2{,}001\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{x-2}=\frac{1}{0{,}001}=1000.
Esses exemplos mostram que, conforme x se aproxima de 2 por valores maiores, o denominador x-2 fica positivo e muito pequeno, e o valor da fração cresce sem limite para valores positivos muito grandes. Isso sugere que o limite é +\infty.

Passo 3

Substituição para ver de forma algébrica: escreva x=2+h com h>0 e h\to0^{+}. Então
\frac{1}{x-2}=\frac{1}{(2+h)-2}=\frac{1}{h}.
Quando h é um número positivo que tende a 0, a quantidade \dfrac{1}{h} tende a +\infty (porque o inverso de um positivo que vai a zero fica arbitrariamente grande e positivo). Logo a expressão tende a +\infty.

Passo 4

Prova formal do limite divergente (definição com M): dizer que \lim_{x\to2^{+}}\dfrac{1}{x-2}=+\infty significa: para todo M>0 existe \delta>0 tal que, se 0<x-2<\delta (ou seja, 2<x<2+\delta), então \dfrac{1}{x-2}>M.
Escolha \delta=\dfrac{1}{M}. Se 0<x-2<\delta então x-2<\dfrac{1}{M} e, como x-2>0,
\frac{1}{x-2}>\frac{1}{1/M}=M.
Portanto, para todo M>0 existe \delta=1/M que garante \dfrac{1}{x-2}>M sempre que 2<x<2+\delta. Isso estabelece rigorosamente que o limite lateral pela direita é +\infty.

Passo 5

Interpretação final e dica rápida para a prova: sempre que ao aproximar x de um ponto o denominador de uma fração tende a 0 com sinal positivo, o quociente tende a +\infty; se o denominador tender a 0 com sinal negativo, tende a -\infty. Aqui temos sinal positivo (porque x>2), então o limite é +\infty.

Resposta

+\infty

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