Exercício 5.36 Temos uma superfície plana quadrada limitada por -2 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 4, de densidade \rho=\left(x^{2}+y^{2}\right) g r / \mathrm{cm}^{2}. x e y em centímetros. Determine a massa da superfície plana.

Passo 1

O enunciado pede a massa de uma lâmina plana com densidade variável \rho(x,y)=x^2+y^2 (em \mathrm{g/cm}^2), definida no retângulo
D=\{(x,y)\mid -2\le x\le2,\;0\le y\le4\}.
O conteúdo é cálculo de massa por meio de integrais duplas. Vamos usar
M=\iint_{D}\rho(x,y)\,\mathrm{d}A.

Passo 2

Escrevemos a integral dupla em coordenadas cartesianas com ordem y depois de x:
M=\int_{x=-2}^{2}\int_{y=0}^{4}\bigl(x^2+y^2\bigr)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x.

Passo 3

Calculamos primeiro a integral interna em y:
\int_{0}^{4}\bigl(x^2+y^2\bigr)\,\mathrm{d}y =\int_{0}^{4}x^2\,\mathrm{d}y+\int_{0}^{4}y^2\,\mathrm{d}y = x^2\cdot4+\frac{4^3}{3} =4x^2+\frac{64}{3}.

Passo 4

Substituímos na integral em x:
M=\int_{-2}^{2}\Bigl(4x^2+\tfrac{64}{3}\Bigr)\,\mathrm{d}x =\int_{-2}^{2}4x^2\,\mathrm{d}x+\int_{-2}^{2}\frac{64}{3}\,\mathrm{d}x.

Passo 5

Calculamos cada parcela:
\int_{-2}^{2}4x^2\,\mathrm{d}x =4\cdot\int_{-2}^{2}x^2\,\mathrm{d}x =4\cdot\frac{2\cdot2^3}{3} =\frac{64}{3},
\int_{-2}^{2}\frac{64}{3}\,\mathrm{d}x =\frac{64}{3}\cdot(2-(-2)) =\frac{64}{3}\cdot4 =\frac{256}{3}.
Somando,
M=\frac{64}{3}+\frac{256}{3}=\frac{320}{3}.

Resposta

A massa da superfície plana é
M=\frac{320}{3}\text{ g}.

Exercícios relacionados