Exercício 0.32 Estude o sinal das expressões dadas.
\frac{2 x-1}{x+1}.

Passo 1

O enunciado pede para estudar o sinal da função racional
f(x)=\frac{2x-1}{x+1}.
O conteúdo utilizado será estudo de sinais de funções racionais, ou seja, teremos de encontrar o domínio, as raízes do numerador (zeros da função) e as raízes do denominador (pontos de descontinuidade), e em seguida montar uma análise em cada intervalo resultante desses pontos críticos.

Passo 2

Determinamos primeiro o domínio e os pontos em que numerador e denominador se anulam.
O denominador anula-se quando
x+1=0\quad\Longrightarrow\quad x=-1,
logo x\neq -1.
O numerador anula-se quando
2x-1=0\quad\Longrightarrow\quad x=\tfrac12.
Portanto os pontos críticos para o estudo de sinal são x=-1 (função não definida) e x=\tfrac12 (zero da função).

Passo 3

Dividimos a reta real nos intervalos (-\infty,-1), (-1,\tfrac12) e (\tfrac12,\infty) e testamos o sinal de cada fator:
  1. Em x< -1 (por exemplo x=-2):
    • 2x-1=2(-2)-1=-5<0
    • x+1=-2+1=-1<0
      Assim
    f(x)=\frac{2x-1}{x+1}=\frac{(-)}{(-)}>0.
  2. Em -1<x<\tfrac12 (por exemplo x=0):
    • 2x-1=2\cdot0-1=-1<0
    • x+1=0+1=1>0
      Logo
    f(x)=\frac{(-)}{(+)}<0.
  3. Em x>\tfrac12 (por exemplo x=1):
    • 2x-1=2\cdot1-1=1>0
    • x+1=1+1=2>0
      Logo
    f(x)=\frac{(+)}{(+)}>0.

Resposta

A função é positiva em (-\infty,-1)\cup(\tfrac12,\infty), negativa em (-1,\tfrac12), anula-se em x=\tfrac12 e não está definida em x=-1.

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