Exercício 0.32 Estude o sinal das expressões dadas.
\left(x^{2}-x\right)(2 x+3).

Passo 1

O enunciado pede para estudarmos o sinal da expressão
\bigl(x^{2}-x\bigr)\,(2x+3).
O conteúdo aqui é análise de sinais de um produto de fatores. Para resolver, vamos fatorar a parte quadrática, encontrar os zeros de cada fator e montar um quadro de sinais.

Passo 2

Vamos fatorar x^{2}-x. Temos
x^{2}-x = x\,(x-1),
portanto a expressão se reescreve como
f(x) = x\,(x-1)\,(2x+3).

Passo 3

Os zeros de cada fator são:
x=0,\quad x-1=0\implies x=1,\quad 2x+3=0\implies x=-\tfrac32.
Esses pontos dividem a reta real em quatro intervalos. Em cada intervalo, analisamos o sinal de cada fator:
Para x<-\tfrac32:
x<0 \Rightarrow x é negativo.
x-1< -\tfrac32-1<0 \Rightarrow x-1 é negativo.
\Rightarrow x\,(x-1) é positivo.
2x+3<0.
Logo, o produto f(x) é negativo.
Para -\tfrac32<x<0:
x<0 \Rightarrow x é negativo.
x-1<0 \Rightarrow x-1 é negativo.
\Rightarrow x\,(x-1) é positivo.
2x+3>0.
Logo, f(x) é positivo.
Para 0<x<1:
x>0 \Rightarrow x é positivo.
x-1<0 \Rightarrow x-1 é negativo.
\Rightarrow x\,(x-1) é negativo.
2x+3>0.
Logo, f(x) é negativo.
Para x>1:
x>0 \Rightarrow x é positivo.
x-1>0 \Rightarrow x-1 é positivo.
\Rightarrow x\,(x-1) é positivo.
2x+3>0.
Logo, f(x) é positivo.

Passo 4

Em resumo:
f(x)=0 exatamente em x=-\tfrac32, x=0 e x=1.
f(x)>0 em \bigl(-\tfrac32,0\bigr)\cup(1,\infty).
f(x)<0 em (-\infty,-\tfrac32)\cup(0,1).

Resposta

f(x)>0 para x\in\bigl(-\tfrac32,0\bigr)\cup(1,\infty).
f(x)<0 para x\in(-\infty,-\tfrac32)\cup(0,1).
f(x)=0 para x=-\tfrac32,0,1.

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