Exercício 0.31 Encontre as raízes reais e complexas dos polinômio dados.
x^{4}-3 x^{3}+x^{2}+3 x-2=0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as raízes, reais e complexas, do polinômio
x^{4} - 3x^{3} + x^{2} + 3x - 2 = 0.
O que vamos usar: o Teorema das Raízes Racionais para tentar valores inteiros candidatos \pm1,\pm2, divisão sintética para reduzir o grau, e fatoração por agrupamento.

Passo 2

Testamos x=1 no polinômio original:
1^{4}-3\cdot1^{3}+1^{2}+3\cdot1-2 = 1 - 3 + 1 + 3 - 2 = 0,
logo x=1 é raiz. Aplicamos divisão sintética por x-1 aos coeficientes (1,\,-3,\,1,\,3,\,-2), obtendo o polinômio de grau 3
x^{3}-2x^{2}-x+2.

Passo 3

Precisamos fatorar a parte cúbica x^{3}-2x^{2}-x+2. Observamos agrupamento:
x^{3}-2x^{2} \;-\;\bigl(x-2\bigr) = x^{2}(x-2) -1\,(x-2) = (x^{2}-1)\,(x-2).

Passo 4

O fator x^{2}-1 é diferença de quadrados, dando x^{2}-1=(x-1)(x+1). Assim o polinômio original se escreve
(x-1)\,(x-1)\,(x+1)\,(x-2)=0.

Resposta

As raízes são
x=1\quad(\text{multiplicidade }2),\quad x=-1,\quad x=2.
Não há raízes complexas não reais; todas as raízes são reais.

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