Exercício 32 (2,5 pontos). Determine a área da região limitada no plano R subset R^2, a qual é delimitada pelas curvas y^3=x, y=1 e x=8. Apresente o esboço dessa região R no plano R^2.

Passo 1

Nesse exercício a gente quer calcular a área da região R limitada pela curva x = y³, pela reta horizontal y = 1 e pela reta vertical x = 8. O conteúdo envolvido é cálculo de área por integração usando fatias horizontais.

Passo 2

Primeiro a gente encontra onde a curva x = y³ cruza a reta x = 8. Basta resolver y³ = 8, o que dá y = 2. Logo, na vertical, R vai de y = 1 até y = 2.
Em cada y fixo entre 1 e 2, a abscissa da borda esquerda é xₗ = y³ e a da borda direita é xᵣ = 8. A área de uma fatia horizontal de espessura dy é (xᵣ − xₗ),dy = (8 − y³),dy. Então a área total é
A = integraly=1^2 (8 - y^3),dy,

Passo 3

Vamos calcular:
integral1^2 8,dy = 8y |1^2 = 16 - 8 = 8,
integral1^2 y^3,dy = y^44 |1^2 = 164 - 14 = 4 - 0.25 = 3.75,

Passo 4

Logo,
A = 8 - 3.75 = 4.25 = 174

Passo 5

Para esboçar R, desenhe o eixo x e y. Trace a curva x = y³ (passa por (1,1) e (8,2)), a reta horizontal y = 1 e a reta vertical x = 8. A região fica entre essas três: sombreie o pedaço encaixado entre a curva à esquerda, a reta x = 8 à direita e a reta y = 1 embaixo até a intersecção em y = 2.

Resposta

174

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