Exercício 32 (2,5 pontos). Determine a área da região limitada no plano
, a qual é delimitada pelas curvas
e
. Apresente o esboço dessa região
no plano
.
Passo 1
Nesse exercício a gente quer calcular a área da região R limitada pela curva x = y³, pela reta horizontal y = 1 e pela reta vertical x = 8. O conteúdo envolvido é cálculo de área por integração usando fatias horizontais.
Passo 2
Primeiro a gente encontra onde a curva x = y³ cruza a reta x = 8. Basta resolver y³ = 8, o que dá y = 2. Logo, na vertical, R vai de y = 1 até y = 2.
Em cada y fixo entre 1 e 2, a abscissa da borda esquerda é xₗ = y³ e a da borda direita é xᵣ = 8. A área de uma fatia horizontal de espessura dy é (xᵣ − xₗ),dy = (8 − y³),dy. Então a área total é
Em cada y fixo entre 1 e 2, a abscissa da borda esquerda é xₗ = y³ e a da borda direita é xᵣ = 8. A área de uma fatia horizontal de espessura dy é (xᵣ − xₗ),dy = (8 − y³),dy. Então a área total é
Passo 3
Vamos calcular:
Passo 4
Logo,
Passo 5
Para esboçar R, desenhe o eixo x e y. Trace a curva x = y³ (passa por (1,1) e (8,2)), a reta horizontal y = 1 e a reta vertical x = 8. A região fica entre essas três: sombreie o pedaço encaixado entre a curva à esquerda, a reta x = 8 à direita e a reta y = 1 embaixo até a intersecção em y = 2.