Em seguida, determine a seguinte integral imprópria (caso ela seja convergente), fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
Passo 1
O enunciado pede primeiro a integral indefinida de
em
, depois avaliar a integral imprópria de 0 a 1. O tema envolve decomposição de frações com raízes, u-substituição e substituição trigonométrica.
Passo 2
Para facilitar a integração, note que
Passo 3
Vamos calcular separadamente
Use a substituição
$$
I_1=\frac12\int u{-1/2},du=\sqrt{u}=\sqrt{x2+1}.
$$
Passo 4
Agora calcule
$$I_2=\int \frac{1}{x\sqrt{x^2+1}},dx.
\frac{1}{\tan\theta,\sec\theta}\sec^2\theta,d\theta
=\frac{\sec^2\theta}{\sec\theta\tan\theta},d\theta
=\csc\theta,d\theta.
=\frac{\sec^2\theta}{\sec\theta\tan\theta},d\theta
=\csc\theta,d\theta.
I_2=\ln\Bigl|\frac{x}{\sqrt{x^2+1}+1}\Bigr|+C.
$$
Passo 5
Somando
I1 e
I2 temos a antiderivada geral
Passo 6
Para a integral imprópria
$$\int_{0}{1}\frac{\sqrt{x2+1}}{x},dx
=\lim_{\varepsilon\to0^+}\Bigl[F(1)-F(\varepsilon)\Bigr],
integral0^1raizx^2+1x,dx =limvarepsilonto0^+l[F(1)-F(varepsilon)r],
F(x)=\sqrt{x2+1}+\ln\Bigl|\frac{x}{\sqrt{x2+1}+1}\Bigr|.
$$
Ao fazer F(x)=raizx^2+1+lnl|xraizx^2+1+1r| , o termo
varepsilonto0^+ , de modo que a integral diverge.
Ao fazer
Passo 7
Concluímos, portanto, que a integral imprópria não é convergente, pois cresce sem limite.
Resposta
A integral indefinida é
A integral imprópria
integral0^1raizx^2+1x,dx
diverge (é infinita).
diverge (é infinita).