integral raizx^2+1x d x
Em seguida, determine a seguinte integral imprópria (caso ela seja convergente), fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
integral0^1 raizx^2+1x d x

Passo 1

O enunciado pede primeiro a integral indefinida de raizx^2+1x em x, depois avaliar a integral imprópria de 0 a 1. O tema envolve decomposição de frações com raízes, u-substituição e substituição trigonométrica.

Passo 2

Para facilitar a integração, note que
raizx^2+1x = x^2+1xraizx^2+1 = xraizx^2+1 + 1xraizx^2+1

Passo 3

Vamos calcular separadamente
I1=integral xraizx^2+1,dx
Use a substituição u=x^2+1, então du=2x,dx e
$$
I_1=\frac12\int u{-1/2},du=\sqrt{u}=\sqrt{x2+1}.
$$

Passo 4

Agora calcule
$$I_2=\int \frac{1}{x\sqrt{x^2+1}},dx.
I2=integral 1xraizx^2+1,dx ç
\frac{1}{\tan\theta,\sec\theta}\sec^2\theta,d\theta
=\frac{\sec^2\theta}{\sec\theta\tan\theta},d\theta
=\csc\theta,d\theta.
x=tantheta
I_2=\ln\Bigl|\frac{x}{\sqrt{x^2+1}+1}\Bigr|+C.
$$

Passo 5

Somando I1 e I2 temos a antiderivada geral
integral raizx^2+1x,dx =raizx^2+1+lnl|xraizx^2+1+1r|+C

Passo 6

Para a integral imprópria
$$\int_{0}{1}\frac{\sqrt{x2+1}}{x},dx
=\lim_{\varepsilon\to0^+}\Bigl[F(1)-F(\varepsilon)\Bigr], integral0^1raizx^2+1x,dx =limvarepsilonto0^+l[F(1)-F(varepsilon)r],
F(x)=\sqrt{x2+1}+\ln\Bigl|\frac{x}{\sqrt{x2+1}+1}\Bigr|.
$$
Ao fazer F(x)=raizx^2+1+lnl|xraizx^2+1+1r| , o termo varepsilonto0^+, de modo que a integral diverge.

Passo 7

Concluímos, portanto, que a integral imprópria não é convergente, pois cresce sem limite.

Resposta

A integral indefinida é
integral raizx^2+1x,dx =raizx^2+1+lnl|xraizx^2+1+1r|+C
A integral imprópria
integral0^1raizx^2+1x,dx
diverge (é infinita).

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