Questão 3. (3,0 pontos) Nos itens de a) até f), calcule os limites caso seja possível. Escreva os símbolos nexists,+infty e -infty para estimar o comportamento das funções cujos limites não existirem.
lim x 0 1-sen(3 x)x

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular o limite limxto01-sin(3x)x. O conteúdo é limites de funções em pontos e vamos usar a aproximação de Taylor para sin(3x) perto de zero.

Passo 2

Aproximação pelo polinômio de Taylor de ordem 3: temos
sin(3x)=3x-(3x)^36+O(x^5)=3x-27x^36+O(x^5)
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1-sin(3x)=1-3x+O(x^3)

Passo 3

Dividindo por x:
1-sin(3x)x=1-3x+O(x^3)x=1x-3+O(x^2)
O termo dominante é 1/x, que diverge quando xto0.

Passo 4

Análise dos limites laterais:
  • Para xto0^+, 1/xto+infty, então 1-sin(3x)xto+infty.
  • Para xto0^-, 1/xto-infty, então 1-sin(3x)xto-infty.

Passo 5

Como os limites laterais são diferentes, o limite bilateral não existe.

Resposta

nexists

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