Exercício 34 Verifique que a inversa de A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 4 & 3 \\\\ -1 & -2 & 0 \\\\ 2 & 2 & 3\end{array}\right) é A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\\ \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{4} \\\ \frac{1}{6} & \frac{1}{2} & \frac{1}{6}\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a inversa da matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 3\\[4pt] -1 & -2 & 0\\[4pt] 2 & 2 & 3 \end{pmatrix}
é a matriz
A^{-1}=\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2}\\[6pt] \dfrac{1}{4} & -\dfrac{1}{4} & -\dfrac{1}{4}\\[6pt] \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{6} \end{pmatrix}.
Informações dadas: os nove elementos de A e os nove elementos da matriz proposta como A^{-1}. A tarefa é confirmar se essa matriz realmente é a inversa de A.]

Passo 2

Método escolhido e conceito necessário (aula rápida e prática). Para verificar que uma matriz B é a inversa de A basta mostrar que
A B = I_3,
onde I_3 é a matriz identidade 3\times3 (que tem 1 na diagonal e 0 fora dela). A definição do produto de matrizes diz que, para matrizes A e B de ordem 3,
(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{3} A_{ik}B_{kj}.
Isto significa: para obter a entrada na linha i e coluna j do produto, faz-se o produto escalar entre a i-ésima linha de A e a j-ésima coluna de B. Vou aplicar isso com B igual à matriz proposta para A^{-1} e mostrar passo a passo que cada entrada de AB é 1 se i=j e 0 se i\neq j.

Passo 3

Cálculos da primeira linha de A com as colunas de A^{-1}. A primeira linha de A é (1,4,3).
Entrada (1,1):
(AB)_{11}=1\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)+4\cdot\frac{1}{4}+3\cdot\frac{1}{6} =-\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}=1.
Entrada (1,2):
(AB)_{12}=1\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)+4\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)+3\cdot\frac{1}{2} =-\frac{1}{2}-1+\frac{3}{2}=0.
Entrada (1,3):
(AB)_{13}=1\cdot\frac{1}{2}+4\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)+3\cdot\frac{1}{6} =\frac{1}{2}-1+\frac{1}{2}=0.

Passo 4

Cálculos da segunda linha de A com as colunas de A^{-1}. A segunda linha de A é (-1,-2,0).
Entrada (2,1):
(AB)_{21}=(-1)\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)+(-2)\cdot\frac{1}{4}+0\cdot\frac{1}{6} =\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+0=0.
Entrada (2,2):
(AB)_{22}=(-1)\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)+(-2)\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)+0\cdot\frac{1}{2} =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+0=1.
Entrada (2,3):
(AB)_{23}=(-1)\cdot\frac{1}{2}+(-2)\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)+0\cdot\frac{1}{6} =-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+0=0.

Passo 5

Cálculos da terceira linha de A com as colunas de A^{-1}. A terceira linha de A é (2,2,3).
Entrada (3,1):
(AB)_{31}=2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)+2\cdot\frac{1}{4}+3\cdot\frac{1}{6} =-1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0.
Entrada (3,2):
(AB)_{32}=2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)+2\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)+3\cdot\frac{1}{2} =-1-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=0.
Entrada (3,3):
(AB)_{33}=2\cdot\frac{1}{2}+2\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)+3\cdot\frac{1}{6} =1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1.

Passo 6

Juntando os resultados das entradas obtém-se
AB= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=I_3.
Como o produto A pela matriz dada resulta na identidade, essa matriz é de fato a inversa de A. (Para matrizes quadradas a inversa é única, então provar A\cdot A^{-1}=I_3 basta para verificar.)]

Resposta

A^{-1}=\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2}\\[6pt] \dfrac{1}{4} & -\dfrac{1}{4} & -\dfrac{1}{4}\\[6pt] \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{6} \end{pmatrix}]

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