Exercício 33. Escreva como um único radical:
\sqrt[3]{\frac{2}{\sqrt[4]{3}}}

Passo 1

O enunciado pede que se escreva como um único radical a expressão
\sqrt[3]{\frac{2}{\sqrt[4]{3}}}.
Informações dadas:
  • A expressão original é \sqrt[3]{\frac{2}{\sqrt[4]{3}}}.
  • Objetivo: representar essa expressão como um único índice de raiz (um só radical).

Passo 2

Converter radicais em potências fracionárias — fórmula básica e explicação:
\sqrt[n]{a} = a^{1/n},
onde a é a base (o número sob a raiz) e n é o índice da raiz. Isso significa que toda raiz pode ser vista como uma potência com expoente racional.
Aplicando isso aos dois radicais da expressão:
\sqrt[4]{3} = 3^{1/4},
e a raiz cúbica externa corresponde a elevar tudo à potência 1/3. Assim
\sqrt[3]{\frac{2}{\sqrt[4]{3}}} = \left(\frac{2}{3^{1/4}}\right)^{1/3}.

Passo 3

Usar leis de potências — declaração e explicação:
  • (a/b)^m = a^m / b^m: elevar uma fração é elevar numerador e denominador.
  • (a^p)^q = a^{pq}: potência de potência multiplica os expoentes.
Aplicando essas leis:
\left(\frac{2}{3^{1/4}}\right)^{1/3} = \frac{2^{1/3}}{(3^{1/4})^{1/3}} = \frac{2^{1/3}}{3^{(1/4)\cdot(1/3)}} = \frac{2^{1/3}}{3^{1/12}}.

Passo 4

Para escrever como um único radical, é útil expressar ambos os expoentes com o mesmo denominador. Aqui os expoentes são 1/3 e 1/12. O mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores 3 e 12 é 12. Então convertemos:
2^{1/3} = 2^{4/12}, \qquad 3^{1/12} = 3^{1/12}.

Passo 5

Reescrever a expressão usando expoentes com denominador 12:
\frac{2^{1/3}}{3^{1/12}} = \frac{2^{4/12}}{3^{1/12}}.
Agora usamos a propriedade
\frac{a^{1/n}}{b^{1/n}} = \left(\frac{a}{b}\right)^{1/n},
com n=12, a=2^4, b=3. Assim:
\frac{2^{4/12}}{3^{1/12}} = \left(\frac{2^4}{3}\right)^{1/12}.

Passo 6

Calcular 2^4:
2^4 = 16.
Portanto a expressão fica
\left(\frac{16}{3}\right)^{1/12} = \sqrt[12]{\frac{16}{3}}.

Resposta

\sqrt[12]{\frac{16}{3}}

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