Exercício 35. Simplifique:
\sqrt{\frac{75}{12}}

Passo 1

O que o problema pede e o que temos: simplificar a expressão \sqrt{\dfrac{75}{12}}.
Informação fornecida: o radicando é a fração \dfrac{75}{12}. O objetivo é escrever essa raiz em sua forma mais simples (sem raízes inúteis dentro da fração, preferindo um número racional quando possível).

Passo 2

Uma propriedade importante que vamos usar (explicada com calma): para a\ge 0 e b>0 vale
\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.
Por que isso é verdade, intuitivamente? Se \sqrt{\dfrac{a}{b}}=x, então x^2=\dfrac{a}{b}. Multiplicando ambos os lados por b obtém-se (bx)^2=a, ou seja bx=\sqrt{a}. Então x=\dfrac{\sqrt{a}}{b}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} (já que \sqrt{b} é o número positivo cujo quadrado é b). Essa propriedade permite separar a raiz em numerador e denominador, o que facilita simplificar fatores.

Passo 3

Vamos simplificar a fração dentro da raiz antes de aplicar a propriedade. Fatoremos numerador e denominador:
75=3\cdot25,\qquad 12=3\cdot4.
Portanto
\dfrac{75}{12}=\dfrac{3\cdot25}{3\cdot4}.
Como há um fator comum 3 no numerador e no denominador, podemos cancelar:
\dfrac{75}{12}=\dfrac{25}{4}.

Passo 4

Agora aplicamos a propriedade da raiz de fração:
\sqrt{\dfrac{75}{12}}=\sqrt{\dfrac{25}{4}}=\dfrac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}.

Passo 5

Calculemos as raízes quadradas simples: \sqrt{25}=5 porque 5^2=25; \sqrt{4}=2 porque 2^2=4. Assim temos o numerador igual a 5 e o denominador igual a 2.

Passo 6

Interpretação final (antes da resposta formal): a raiz simplificada corresponde ao quociente do numerador e do denominador obtidos no passo anterior, ou seja, ao número formado por 5 no numerador e 2 no denominador.

Resposta

\dfrac{5}{2}

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