Exercício 33. Faça o que se pede.
a) Calcule uma expressão equivalente a
\frac{\operatorname{sen} 1^{\circ}}{\cos k^{\circ} \cdot \cos (k+1)^{\circ}} .
b) Prove que
\frac{\operatorname{sen} 1^{\circ}}{\cos 0^{\circ} \cdot \cos 1^{\circ}}+\frac{\operatorname{sen} 1^{\circ}}{\cos 1^{\circ} \cdot \cos 2^{\circ}}+\cdots+\frac{\operatorname{sen} 1^{\circ}}{\cos 2014^{\circ} \cdot \cos 2015^{\circ}} é igual a \operatorname{tg} 2015^{\circ}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Encontrar uma expressão equivalente a \dfrac{\operatorname{sen}1^{\circ}}{\cos k^{\circ}\cdot\cos (k+1)^{\circ}}.
  • (b) Mostrar que a soma
\frac{\operatorname{sen}1^{\circ}}{\cos 0^{\circ}\cdot\cos 1^{\circ}}+\frac{\operatorname{sen}1^{\circ}}{\cos 1^{\circ}\cdot\cos 2^{\circ}}+\cdots+\frac{\operatorname{sen}1^{\circ}}{\cos 2014^{\circ}\cdot\cos 2015^{\circ}}
é igual a \operatorname{tg}2015^{\circ}.
Informações relevantes dadas:
  • Cada termo da soma tem o mesmo numerador \operatorname{sen}1^{\circ}.
  • Os denominadores são produtos \cos k^{\circ}\cdot\cos (k+1)^{\circ} para k=0,1,\dots,2014.
  • Trabalha-se em graus (o símbolo {}^\circ está presente).

Passo 2

Vou lembrar e demonstrar uma identidade trigonométrica que será a chave: a diferença de tangentes pode ser escrita em termos de seno e cosseno.
Definição e manipulação:
  • A tangente é definida por \operatorname{tg}x=\dfrac{\operatorname{sen}x}{\cos x}. Aqui x é um ângulo (em graus ou radianos), \operatorname{sen}x é o seno e \cos x é o cosseno.
  • Calcule a diferença \operatorname{tg}x-\operatorname{tg}y:
\operatorname{tg}x-\operatorname{tg}y = \frac{\operatorname{sen}x}{\cos x}-\frac{\operatorname{sen}y}{\cos y} = \frac{\operatorname{sen}x\cos y-\operatorname{sen}y\cos x}{\cos x\cos y}.
  • Usando a identidade da diferença de senos,
\operatorname{sen}(x-y)=\operatorname{sen}x\cos y-\cos x\operatorname{sen}y,
conclui-se que
\operatorname{tg}x-\operatorname{tg}y=\frac{\operatorname{sen}(x-y)}{\cos x\cos y}.
Explicação simples: essa identidade vem diretamente de escrever tangente como seno sobre cosseno e colocar as frações sobre o mesmo denominador; o numerador coincide com a fórmula de \operatorname{sen}(x-y).

Passo 3

Agora aplico a identidade ao problema da parte (a). Escolha x=(k+1)^{\circ} e y=k^{\circ}. Substituindo em
\operatorname{tg}x-\operatorname{tg}y=\frac{\operatorname{sen}(x-y)}{\cos x\cos y},
obtém-se
\operatorname{tg}(k+1)^{\circ}-\operatorname{tg}k^{\circ} = \frac{\operatorname{sen}\bigl((k+1)^{\circ}-k^{\circ}\bigr)}{\cos (k+1)^{\circ}\cos k^{\circ}} = \frac{\operatorname{sen}1^{\circ}}{\cos (k+1)^{\circ}\cos k^{\circ}}.
Reescrevendo, uma expressão equivalente ao que se pediu é
\frac{\operatorname{sen}1^{\circ}}{\cos k^{\circ}\cdot\cos (k+1)^{\circ}} = \operatorname{tg}(k+1)^{\circ}-\operatorname{tg}k^{\circ}.

Passo 4

Agora a parte (b). Denote a soma desejada por S. Pelo resultado do passo anterior, cada termo pode ser escrito como diferença de tangentes. Assim
S=\sum_{k=0}^{2014}\frac{\operatorname{sen}1^{\circ}}{\cos k^{\circ}\cos (k+1)^{\circ}} =\sum_{k=0}^{2014}\bigl(\operatorname{tg}(k+1)^{\circ}-\operatorname{tg}k^{\circ}\bigr).
Esse tipo de soma é telescópico: quando expandimos os primeiros termos temos
(\operatorname{tg}1^{\circ}-\operatorname{tg}0^{\circ})+(\operatorname{tg}2^{\circ}-\operatorname{tg}1^{\circ}) +(\operatorname{tg}3^{\circ}-\operatorname{tg}2^{\circ})+\cdots+(\operatorname{tg}2015^{\circ}-\operatorname{tg}2014^{\circ}),
e quase tudo cancela em pares.

Passo 5

Depois do cancelamento (telescópico) sobra apenas
S=\operatorname{tg}2015^{\circ}-\operatorname{tg}0^{\circ}.
Mas \operatorname{tg}0^{\circ}=0, logo
S=\operatorname{tg}2015^{\circ}.
Isso completa a demonstração da parte (b). (Se quiser treinar a ideia do telescópio, faça um exemplo pequeno: somar k=0 até 2 \operatorname{tg}3^{\circ}-\operatorname{tg}0^{\circ}.)

Resposta

(a) \displaystyle \operatorname{tg}(k+1)^{\circ}-\operatorname{tg}k^{\circ}
(b) \displaystyle \operatorname{tg}2015^{\circ}

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