Exercício 33. Faça o que se pede.
a) Calcule uma expressão equivalente a
b) Prove que
é igual a
.
a) Calcule uma expressão equivalente a
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Encontrar uma expressão equivalente a
. - (b) Mostrar que a soma
é igual a
.
Informações relevantes dadas:
- Cada termo da soma tem o mesmo numerador
. - Os denominadores são produtos
para . - Trabalha-se em graus (o símbolo
está presente).
Passo 2
Vou lembrar e demonstrar uma identidade trigonométrica que será a chave: a diferença de tangentes pode ser escrita em termos de seno e cosseno.
Definição e manipulação:
- A tangente é definida por
. Aqui é um ângulo (em graus ou radianos), é o seno e é o cosseno. - Calcule a diferença
:
- Usando a identidade da diferença de senos,
conclui-se que
Explicação simples: essa identidade vem diretamente de escrever tangente como seno sobre cosseno e colocar as frações sobre o mesmo denominador; o numerador coincide com a fórmula de
.
Passo 3
Agora aplico a identidade ao problema da parte (a). Escolha
e
. Substituindo em
obtém-se
Reescrevendo, uma expressão equivalente ao que se pediu é
Passo 4
Agora a parte (b). Denote a soma desejada por
. Pelo resultado do passo anterior, cada termo pode ser escrito como diferença de tangentes. Assim
Esse tipo de soma é telescópico: quando expandimos os primeiros termos temos
e quase tudo cancela em pares.
Passo 5
Depois do cancelamento (telescópico) sobra apenas
Mas
, logo
Isso completa a demonstração da parte (b). (Se quiser treinar a ideia do telescópio, faça um exemplo pequeno: somar
até
dá
.)
Resposta
(a)
(b)