Exercício 37. A partir das fórmulas do cosseno da soma e do cosseno da diferença, prove que:
\cos (a+b)-\cos (a-b)=2 \operatorname{sen} a sen b.

Passo 1

O enunciado pede que a partir das fórmulas do cosseno da soma e do cosseno da diferença se prove a identidade escrita. Especificando claramente:
  • O que nos dão: os ângulos a e b (qualquer número real que represente um ângulo).
  • O que pedir provar: a igualdade envolvendo cossenos e senos:
\cos(a+b)-\cos(a-b)=\;?
  • Informação extra que vamos usar: as fórmulas do cosseno da soma e do cosseno da diferença (essas são dadas pelo enunciado como ferramentas).

Passo 2

Recordando (e explicando) as fórmulas que vamos usar. Para quaisquer ângulos x e y valem as seguintes fórmulas bem conhecidas:
\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y,
\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y.
Aqui \cos e \sin são as funções cosseno e seno; as letras x e y representam ângulos quaisquer. Essas fórmulas vêm da trigonometria e dizem como expressar o cosseno da soma (ou da diferença) em termos dos cossenos e senos dos ângulos individuais. Vou aplicar essas fórmulas com x=a e y=b.

Passo 3

Escrever explicitamente \cos(a+b) e \cos(a-b) usando as fórmulas acima:
\cos(a+b)=\cos a\cos b - \sin a\sin b,
\cos(a-b)=\cos a\cos b + \sin a\sin b.
Cada termo foi obtido directamente substituindo x=a e y=b nas fórmulas do passo anterior. Note que os dois primeiros termos \cos a\cos b aparecem com sinais iguais em ambas as expressões, enquanto os termos com \sin a\sin b aparecem com sinais opostos.

Passo 4

Agora calculamos a diferença pedida substituindo as expressões obtidas:
\cos(a+b)-\cos(a-b)
= \big(\cos a\cos b - \sin a\sin b\big) - \big(\cos a\cos b + \sin a\sin b\big).
É só colocar uma expressão menos a outra e abrir os parênteses com cuidado para os sinais.

Passo 5

Fazendo as subtrações termo a termo (mostrar cada passo):
Primeiro, os termos \cos a\cos b:
\cos a\cos b - \cos a\cos b = 0.
Depois, os termos com seno:
- \sin a\sin b - \sin a\sin b = -2\sin a\sin b.
Somando os resultados:
\cos(a+b)-\cos(a-b)=0 + (-2\sin a\sin b) = -2\sin a\sin b.
Portanto a diferença simplifica para -2\sin a\sin b.

Passo 6

Verificação alternativa (produto-soma) para conferir o sinal e a forma: existe a identidade geral
\cos u - \cos v = -2 \sin\!\Big(\frac{u+v}{2}\Big)\sin\!\Big(\frac{u-v}{2}\Big).
Tomando u=a+b e v=a-b obtemos
\cos(a+b)-\cos(a-b) = -2\sin\!\Big(\frac{(a+b)+(a-b)}{2}\Big)\sin\!\Big(\frac{(a+b)-(a-b)}{2}\Big).
Calculando os meios:
\frac{(a+b)+(a-b)}{2}=\frac{2a}{2}=a,\qquad \frac{(a+b)-(a-b)}{2}=\frac{2b}{2}=b,
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\cos(a+b)-\cos(a-b) = -2\sin a\sin b,
confirmando o resultado do passo anterior.

Passo 7

Confirmação numérica rápida para aumentar a intuição (exemplo): escolha a=30^\circ e b=20^\circ. Usando valores aproximados:
\cos(50^\circ)\approx0,6428,\qquad \cos(10^\circ)\approx0,9848,
\cos(50^\circ)-\cos(10^\circ)\approx -0,3420.
Por outro lado,
-2\sin(30^\circ)\sin(20^\circ)=-2\cdot 0,5\cdot 0,3420\approx -0,3420,
que coincide. Isso mostra que o sinal negativo é o correto.

Resposta

-2\sin a\sin b

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