Exercício 37. A partir das fórmulas do cosseno da soma e do cosseno da diferença, prove que:
sen
.
Passo 1
O enunciado pede que a partir das fórmulas do cosseno da soma e do cosseno da diferença se prove a identidade escrita. Especificando claramente:
- O que nos dão: os ângulos
e (qualquer número real que represente um ângulo). - O que pedir provar: a igualdade envolvendo cossenos e senos:
- Informação extra que vamos usar: as fórmulas do cosseno da soma e do cosseno da diferença (essas são dadas pelo enunciado como ferramentas).
Passo 2
Recordando (e explicando) as fórmulas que vamos usar. Para quaisquer ângulos
e
valem as seguintes fórmulas bem conhecidas:
Aqui
e
são as funções cosseno e seno; as letras
e
representam ângulos quaisquer. Essas fórmulas vêm da trigonometria e dizem como expressar o cosseno da soma (ou da diferença) em termos dos cossenos e senos dos ângulos individuais. Vou aplicar essas fórmulas com
e
.
Passo 3
Escrever explicitamente
e
usando as fórmulas acima:
Cada termo foi obtido directamente substituindo
e
nas fórmulas do passo anterior. Note que os dois primeiros termos
aparecem com sinais iguais em ambas as expressões, enquanto os termos com
aparecem com sinais opostos.
Passo 4
Agora calculamos a diferença pedida substituindo as expressões obtidas:
É só colocar uma expressão menos a outra e abrir os parênteses com cuidado para os sinais.
Passo 5
Fazendo as subtrações termo a termo (mostrar cada passo):
Primeiro, os termos
:
Depois, os termos com seno:
Somando os resultados:
Portanto a diferença simplifica para
.
Passo 6
Verificação alternativa (produto-soma) para conferir o sinal e a forma: existe a identidade geral
Tomando
e
obtemos
Calculando os meios:
logo
confirmando o resultado do passo anterior.
Passo 7
Confirmação numérica rápida para aumentar a intuição (exemplo): escolha
e
. Usando valores aproximados:
Por outro lado,
que coincide. Isso mostra que o sinal negativo é o correto.