Exercício 0.34 Resolva as inequações dadas.
x(x-1)>x^{3}+4 x.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
x(x-1) > x^3 + 4x.
O conteúdo aqui é resolução de inequações polinomiais: vamos trazer tudo para um lado, fatorar o polinômio e analisar o sinal de cada fator.

Passo 2

Primeiro expandimos e reagrupamos termos. Temos
x(x-1)=x^2 - x,
logo
x^2 - x > x^3 + 4x.
Subtraindo x^3 + 4x de ambos os lados, vem
x^2 - x - x^3 - 4x > 0,
que se reescreve como
-\,x^3 + x^2 - 5x > 0.

Passo 3

Vamos fatorar o polinômio. Extraindo -1 ou x, obtemos
-\,x^3 + x^2 - 5x = -\bigl(x^3 - x^2 + 5x\bigr) = -\,x\,(x^2 - x + 5).
Assim a inequação passa a ser
-\,x\,(x^2 - x + 5) > 0.

Passo 4

Analisamos o fator quadrático x^2 - x + 5. Seu discriminante é
\Delta = (-1)^2 - 4\cdot1\cdot5 = 1 - 20 = -19 < 0,
portanto x^2 - x + 5 > 0 para todo x. Isso significa que o sinal de -\,x\,(x^2 - x + 5) é determinado apenas por -x. Logo
-\,x > 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x < 0.

Resposta

A solução da inequação é
x < 0,
ou, em notação de intervalos,
(-\infty,\,0).

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