Exercício 7 (D.L.5.31)
Consideremos a equação
, em que
é uma função de classe
no aberto
e
. Suponha que a equação em coordenadas polares é conjugada à equação
, em que
é uma função de classe
tal que
para todo
, em que
é uma sequência em
tal que
. Mostre que a origem é um ponto de equilíbrio estável para a equação diferencial
.
Passo 1
O enunciado trata da equação em
com
de classe
num aberto
, e afirma que, em coordenadas polares
, ela é conjugada ao sistema
onde e existe uma sequência
com
tal que
Queremos mostrar que a origem é um ponto de equilíbrio estável para
.
Passo 2
Na forma polar conjugada, a equação em
independe de
. Cada zero
de
faz com que
seja solução para
. Como
, no espaço original isso corresponde à órbita periódica
ou seja, um círculo de raio
.
Passo 3
A sequência
tende a zero, logo esses círculos periódicos se acumulam em torno da origem, formando “barreiras” fechadas cada vez mais próximas do ponto
.
Passo 4
Pela unicidade de solução (teorema de existência e unicidade), órbitas não podem atravessar uma órbita periódica: se uma solução parte de dentro do círculo de raio
, ela nunca o ultrapassa para fora.
Passo 5
Dado
, escolha
tal que
Defina
. Se
, então em coordenadas polares
, ou seja, a trajetória inicial fica no interior do círculo periódico de raio
. Pela barreira que esse círculo impõe, para todo
teremos
Isso mostra exatamente a estabilidade da origem: para cada
existe
tal que
implica
para todo
.
Resposta
A origem é um ponto de equilíbrio estável para a equação
.