Exercício 7 (D.L.5.31)

Consideremos a equação x^prime=f(x), em que f: E R^n é uma função de classe C^1 no aberto E subset R^n e 0 in E. Suponha que a equação em coordenadas polares é conjugada à equação (r^prime, theta^prime)=(g(r), 1), em que g:] 0, infty[ R é uma função de classe C^1 tal que g(rn)=0 para todo rn, em que rnn in N é uma sequência em ] 0, infty[ tal que lim n infty rn=0. Mostre que a origem é um ponto de equilíbrio estável para a equação diferencial x^prime=f(x).

Passo 1

O enunciado trata da equação em
com de classe num aberto , e afirma que, em coordenadas polares , ela é conjugada ao sistema
onde e existe uma sequência com tal que
Queremos mostrar que a origem é um ponto de equilíbrio estável para .

Passo 2

Na forma polar conjugada, a equação em r independe de theta. Cada zero rn de g faz com que
r(t)equiv rn
seja solução para r'=g(r). Como theta'=1, no espaço original isso corresponde à órbita periódica
x(t)=rnl(cos(t+theta0),;sin(t+theta0)r),
ou seja, um círculo de raio rn.

Passo 3

A sequência rn tende a zero, logo esses círculos periódicos se acumulam em torno da origem, formando “barreiras” fechadas cada vez mais próximas do ponto 0.

Passo 4

Pela unicidade de solução (teorema de existência e unicidade), órbitas não podem atravessar uma órbita periódica: se uma solução parte de dentro do círculo de raio rn, ela nunca o ultrapassa para fora.

Passo 5

Dado varepsilon>0, escolha N tal que
rN<varepsilon
Defina de<a = rN. Se |x(0)|<de<a, então em coordenadas polares r(0)<rN, ou seja, a trajetória inicial fica no interior do círculo periódico de raio rN. Pela barreira que esse círculo impõe, para todo t>=0 teremos
|x(t)|<rN<varepsilon
Isso mostra exatamente a estabilidade da origem: para cada varepsilon existe de<a tal que |x(0)|<de<a implica |x(t)|<varepsilon para todo t>=0.

Resposta

A origem é um ponto de equilíbrio estável para a equação x'=f(x).

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