Exercício 34. Calcule
, onde
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações ele dá.
- O enunciado pede calcular a integral dupla
- A região
é dada por
Ou seja: é o semicírculo (disk) de raio
centrado na origem, limitado à metade inferior (onde
).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O raio do disco é
. - A desigualdade
restringe a região à metade inferior do disco. - A integranda é
, que pode ser fatorada como .
Passo 2
Escolher uma boa estratégia: observar a forma da integranda e da região.
- A integranda é
. Isso depende apenas de , isto é, do quadrado da distância ao origem. Quando a função depende de , costuma ser muito conveniente usar coordenadas polares . - Em coordenadas polares definimos:
onde é a distância ao origem e é o ângulo medido a partir do eixo positivo. - Em polares,
. Então a integranda vira .
Agora explico um ponto importante e frequentemente perguntado: a mudança de variável altera o elemento de área.
- O elemento de área em coordenadas cartesianas é
. - Em coordenadas polares o elemento de área se transforma em
. Intuição simples: um pequeno retângulo em tem lados aproximadamente e , então a área é aproximadamente . Esse fator é chamado de Jacobiano da transformação.
Passo 3
Determinar os limites de integração em polares para a região
.
- A região é o disco de raio
, então varia de até : - A condição
em polares é . Como , isso equivale a . - Os ângulos com
são precisamente (ou, alternativamente, ). Vou usar .
Portanto os limites em polares são:
Passo 4
Escrever a integral na nova variável usando tudo que já transformamos.
- Substituindo
e , temos:
- Simplificando o integrando:
. Assim a integral fica
Passo 5
Calcular a integral iterada, passo a passo, começando pela integral em
.
- Calcular a integral interna:
- A primitiva de
é . Portanto
Passo 6
Agora integrar em
usando o resultado da integral em
.
- A integral torna-se
- Essa é uma integral de uma constante. O resultado é a constante multiplicada pelo comprimento do intervalo em
: