Exercício 34. Calcule \iint_{D}\left(3 x^{2}+3 y^{2}\right) d x d y, onde D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2} \leq 4, y \leq 0\right\}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações ele dá.
  • O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{D}\left(3x^{2}+3y^{2}\right)\,dx\,dy.
  • A região D é dada por
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\le 4,\; y\le 0\}.
Ou seja: é o semicírculo (disk) de raio 2 centrado na origem, limitado à metade inferior (onde y\le 0).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O raio do disco é 2.
  • A desigualdade y\le 0 restringe a região à metade inferior do disco.
  • A integranda é 3x^{2}+3y^{2}, que pode ser fatorada como 3(x^{2}+y^{2}).

Passo 2

Escolher uma boa estratégia: observar a forma da integranda e da região.
  • A integranda é 3(x^{2}+y^{2}). Isso depende apenas de x^{2}+y^{2}, isto é, do quadrado da distância ao origem. Quando a função depende de x^{2}+y^{2}, costuma ser muito conveniente usar coordenadas polares (r,\theta).
  • Em coordenadas polares definimos: x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo.
  • Em polares, x^{2}+y^{2}=r^{2}. Então a integranda 3(x^{2}+y^{2}) vira 3r^{2}.
Agora explico um ponto importante e frequentemente perguntado: a mudança de variável altera o elemento de área.
  • O elemento de área em coordenadas cartesianas é dx\,dy.
  • Em coordenadas polares o elemento de área se transforma em r\,dr\,d\theta. Intuição simples: um pequeno retângulo em (r,\theta) tem lados aproximadamente dr e r\,d\theta, então a área é aproximadamente dr\cdot (r\,d\theta)=r\,dr\,d\theta. Esse fator r é chamado de Jacobiano da transformação.

Passo 3

Determinar os limites de integração em polares para a região D.
  • A região é o disco de raio 2, então r varia de 0 até 2: 0\le r\le 2.
  • A condição y\le 0 em polares é r\sin\theta\le 0. Como r\ge 0, isso equivale a \sin\theta\le 0.
  • Os ângulos com \sin\theta\le 0 são precisamente \theta\in[\pi,2\pi] (ou, alternativamente, \theta\in[-\pi,0]). Vou usar \theta\in[\pi,2\pi].
Portanto os limites em polares são:
r\in[0,2],\qquad \theta\in[\pi,2\pi].

Passo 4

Escrever a integral na nova variável usando tudo que já transformamos.
  • Substituindo x^{2}+y^{2}=r^{2} e dx\,dy = r\,dr\,d\theta, temos:
\iint_{D}\left(3x^{2}+3y^{2}\right)\,dx\,dy = \int_{\theta=\pi}^{2\pi}\int_{r=0}^{2} 3r^{2}\cdot r\,dr\,d\theta.
  • Simplificando o integrando: 3r^{2}\cdot r = 3r^{3}. Assim a integral fica
\int_{\pi}^{2\pi}\int_{0}^{2} 3r^{3}\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral iterada, passo a passo, começando pela integral em r.
  • Calcular a integral interna:
\int_{0}^{2} 3r^{3}\,dr = 3\int_{0}^{2} r^{3}\,dr.
  • A primitiva de r^{3} é \dfrac{r^{4}}{4}. Portanto
3\int_{0}^{2} r^{3}\,dr = 3\left[\dfrac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{2} = 3\cdot \dfrac{2^{4}}{4} - 3\cdot 0 = 3\cdot \dfrac{16}{4} = 3\cdot 4 = 12.

Passo 6

Agora integrar em \theta usando o resultado da integral em r.
  • A integral torna-se
\int_{\pi}^{2\pi} 12\,d\theta.
  • Essa é uma integral de uma constante. O resultado é a constante multiplicada pelo comprimento do intervalo em \theta:
12\cdot\bigl(2\pi-\pi\bigr)=12\cdot\pi=12\pi.

Resposta

12\pi

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