Exercício 33. Calcule \iint_{D}\left(2 x^{2}+2 y^{2}\right) d x d y, onde D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2} \leq 4, y \geq 0\right\}.
A região D é o disco de raio 2 cortado pela semirreta y\ge 0; ou seja, é o semicírculo (incluindo interior) de raio 2 no semiplano superior.
A função a integrar é 2x^{2}+2y^{2}=2(x^{2}+y^{2}).
O que se pede: o valor numérico da integral dupla sobre D.
Passo 2
Vamos trocar para coordenadas polares porque a região D é circular e a integranda depende de x^{2}+y^{2}. Explicando a mudança polares (aulas rápidas e práticas):
As coordenadas polares são definidas por
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância do ponto à origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo.
Ao transformar uma integral dupla para coordenadas polares, a diferencial de área dx\,dy vira r\,dr\,d\theta. Esse fator r é o Jacobiano da transformação; uma forma direta de ver isso é calcular o determinante das derivadas parciais: