Exercício 33. Calcule \iint_{D}\left(2 x^{2}+2 y^{2}\right) d x d y, onde D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2} \leq 4, y \geq 0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D}\left(2 x^{2}+2 y^{2}\right)\,dx\,dy,
onde a região D é dada por
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}+y^{2}\le 4,\; y\ge 0\}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A região D é o disco de raio 2 cortado pela semirreta y\ge 0; ou seja, é o semicírculo (incluindo interior) de raio 2 no semiplano superior.
  • A função a integrar é 2x^{2}+2y^{2}=2(x^{2}+y^{2}).
    O que se pede: o valor numérico da integral dupla sobre D.

Passo 2

Vamos trocar para coordenadas polares porque a região D é circular e a integranda depende de x^{2}+y^{2}. Explicando a mudança polares (aulas rápidas e práticas):
  • As coordenadas polares são definidas por
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância do ponto à origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo.
  • Ao transformar uma integral dupla para coordenadas polares, a diferencial de área dx\,dy vira r\,dr\,d\theta. Esse fator r é o Jacobiano da transformação; uma forma direta de ver isso é calcular o determinante das derivadas parciais:
\begin{vmatrix} \partial x/\partial r & \partial x/\partial \theta\\[4pt] \partial y/\partial r & \partial y/\partial \theta \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta\\[4pt] \sin\theta & r\cos\theta \end{vmatrix} = r(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=r.
Portanto dx\,dy = r\,dr\,d\theta.]

Passo 3

Convertemos a integranda para polares. Observando que x^{2}+y^{2}=r^{2}, temos
2x^{2}+2y^{2}=2(x^{2}+y^{2})=2r^{2}.
Multiplicando pela diferencial de área em polares, a função a integrar fica
(2r^{2})\cdot r = 2r^{3}.
Ou seja, em coordenadas polares o integrando é 2r^{3}.

Passo 4

Determinar os limites em polares para a região D:
  • A condição x^{2}+y^{2}\le 4 vira r^{2}\le 4, isto é 0\le r\le 2.
  • A condição y\ge 0 em polares é r\sin\theta\ge 0. Como r\ge 0, isso equivale a \sin\theta\ge 0, portanto \theta varia de 0 a \pi. Logo os limites são
0\le r\le 2,\qquad 0\le \theta\le \pi.

Passo 5

Agora escrevemos a integral em polares com os limites determinados:
\iint_{D}\left(2 x^{2}+2 y^{2}\right)\,dx\,dy = \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2} 2r^{3}\,dr\,d\theta.

Passo 6

Calculemos a integral interna (em r) passo a passo. A primitiva de 2r^{3} em r é
\int 2r^{3}\,dr = \frac{2r^{4}}{4}=\frac{r^{4}}{2}.
Avaliando de r=0 até r=2 obtemos
\int_{0}^{2}2r^{3}\,dr=\left[\frac{r^{4}}{2}\right]_{0}^{2}=8.

Passo 7

Com o resultado da integral em r substituímos na integral em \theta. Ficamos com
\int_{0}^{\pi} 8\,d\theta = \left[8\theta\right]_{0}^{\pi}.
A avaliação final desta expressão dará o valor numérico da integral.

Resposta

8\pi

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