Exercício 32. Calcule
, onde
a região limitada pelas elipses
,
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado pede calcular a integral dupla
. - A região
é a região do plano limitada pelas duas elipses e - Informação útil: a função integranda é a constante
.
O objetivo final é obter o valor numérico de
.
Passo 2
Observação importante e conceito que vamos usar: quando a integranda é uma constante, a integral dupla sobre uma região vale essa constante multiplicada pela área da região. Em outras palavras, para uma constante
,
Explicando por que: a integral soma o valor
em cada “pequena área”
; somar
sobre toda a região é
vezes a soma dos
, que é a área total.
Aplicando aqui, com
,
Portanto o problema reduz-se a calcular a área da região
entre as duas elipses.
Passo 3
Fórmula útil sobre elipses (vou ensinar e demonstrar): a área de uma elipse dada na forma padrão
é
Por que isso é verdade (idéia simples): a elipse é a imagem do círculo unitário
por uma escala linear que manda
. Essa transformação tem determinante (jacobiano) igual a
, então a área da elipse é
vezes a área do círculo unitário
, logo
.
Passo 4
Colocar cada elipse na forma padrão para identificar
e
.
Para a elipse interna
, dividir por
:
Assim
e
.
Pela fórmula da área,
Pela fórmula da área,
Passo 5
Para a elipse externa
, dividir por
:
Assim
e
.
Pela fórmula da área,
Pela fórmula da área,
Passo 6
A área da região
(a “faixa” entre as duas elipses) é a diferença entre as áreas:
Passo 7
Voltando à integral, lembrando que
, obtemos
Passo 8
(Faixa de reforço — método alternativo por mudança de variáveis, opcional mas útil para entender a geometria.)
-
Fazer a transformação linear que transforma as elipses em círculos: defina
por Entãoe Assim a elipse interna vira o círculoe a externa vira — uma coroa circular com . -
O jacobiano da transformação
é logo . -
A integral transforma-se emonde
é o anel . -
Em coordenadas polares
tem-se . Assimconfirmando o resultado anterior.]