Exercício 32. Calcule \iint_{D} 2 d x d y, onde D a região limitada pelas elipses x^{2}+4 y^{2}=4, x^{2}+4 y^{2}=16.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado pede calcular a integral dupla \iint_{D} 2\,dx\,dy.
  • A região D é a região do plano limitada pelas duas elipses x^{2}+4y^{2}=4e x^{2}+4y^{2}=16.
  • Informação útil: a função integranda é a constante 2.
O objetivo final é obter o valor numérico de \iint_{D} 2\,dx\,dy.

Passo 2

Observação importante e conceito que vamos usar: quando a integranda é uma constante, a integral dupla sobre uma região vale essa constante multiplicada pela área da região. Em outras palavras, para uma constante c,
\iint_{D} c\,dx\,dy = c\cdot \text{Area}(D).
Explicando por que: a integral soma o valor c em cada “pequena área” dA; somar c\,dA sobre toda a região é c vezes a soma dos dA, que é a área total.
Aplicando aqui, com c=2,
\iint_{D} 2\,dx\,dy = 2\cdot \text{Area}(D).
Portanto o problema reduz-se a calcular a área da região D entre as duas elipses.

Passo 3

Fórmula útil sobre elipses (vou ensinar e demonstrar): a área de uma elipse dada na forma padrão
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1
é
\text{Area}=\pi a b.
Por que isso é verdade (idéia simples): a elipse é a imagem do círculo unitário \{u^{2}+v^{2}\le 1\} por uma escala linear que manda (u,v)\mapsto (a u, b v). Essa transformação tem determinante (jacobiano) igual a ab, então a área da elipse é ab vezes a área do círculo unitário \pi\cdot 1^{2}=\pi, logo \pi a b.

Passo 4

Colocar cada elipse na forma padrão para identificar a e b.
Para a elipse interna x^{2}+4y^{2}=4, dividir por 4:
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{1}=1.
Assim \,a^{2}=4\Rightarrow a=2 e \,b^{2}=1\Rightarrow b=1.
Pela fórmula da área,
\text{Area}_{\text{interna}}=\pi a b=\pi\cdot 2\cdot 1=2\pi.

Passo 5

Para a elipse externa x^{2}+4y^{2}=16, dividir por 16:
\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1.
Assim \,a^{2}=16\Rightarrow a=4 e \,b^{2}=4\Rightarrow b=2.
Pela fórmula da área,
\text{Area}_{\text{externa}}=\pi a b=\pi\cdot 4\cdot 2=8\pi.

Passo 6

A área da região D (a “faixa” entre as duas elipses) é a diferença entre as áreas:
\text{Area}(D)=\text{Area}_{\text{externa}}-\text{Area}_{\text{interna}}=8\pi-2\pi=6\pi.

Passo 7

Voltando à integral, lembrando que \iint_{D}2\,dx\,dy=2\cdot\text{Area}(D), obtemos
\iint_{D}2\,dx\,dy = 2\cdot 6\pi = 12\pi.

Passo 8

(Faixa de reforço — método alternativo por mudança de variáveis, opcional mas útil para entender a geometria.)
  • Fazer a transformação linear que transforma as elipses em círculos: defina (u,v) por
    u=\frac{x}{2},\qquad v=y.
    Então x=2u,\\ y=v e
    x^{2}+4y^{2}=4(u^{2}+v^{2}).
    Assim a elipse interna vira o círculo u^{2}+v^{2}=1 e a externa vira u^{2}+v^{2}=4 — uma coroa circular com 1\le r\le 2.
  • O jacobiano da transformação (u,v)\mapsto(x,y) é
    J=\det\begin{pmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v} \\[6pt] \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} =\det\begin{pmatrix} 2 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{pmatrix}=2,
    logo dx\,dy = 2\,du\,dv.
  • A integral transforma-se em
    \iint_{D}2\,dx\,dy = \iint_{R} 2\cdot (2)\,du\,dv = 4\iint_{R} du\,dv,
    onde R é o anel \{(u,v):1\le \sqrt{u^{2}+v^{2}}\le 2\}.
  • Em coordenadas polares (u=r\cos\theta,\\ v=r\sin\theta) tem-se du\,dv = r\,dr\,d\theta. Assim
    4\iint_{R} du\,dv = 4\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{2} r\,dr\,d\theta =4\cdot 2\pi\cdot \frac{1}{2}\bigl(2^{2}-1^{2}\bigr) =4\cdot 2\pi\cdot \frac{3}{2}=12\pi,
    confirmando o resultado anterior.]

Resposta

12\pi

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