Exercício 0.34 Resolva as inequações dadas.
\frac{1-x}{x^{4}-16}>0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
\frac{1 - x}{x^{4} - 16} > 0
O conteúdo aqui é análise de sinal de expressão racional: vamos identificar zeros de numerador e denominador, dividir a reta em intervalos críticos e determinar em quais deles a fração é positiva.

Passo 2

Primeiro, fatoramos numerador e denominador:
\text{numerador} = 1 - x,\quad \text{denominador} = x^{4} - 16 = (x^{2} - 4)(x^{2} + 4) = (x - 2)(x + 2)(x^{2} + 4).
Repare que \,x^{2}+4>0 para todo x, então o sinal de x^{4}-16 depende apenas de (x-2)(x+2).

Passo 3

Identificamos os pontos críticos onde a expressão muda de sinal ou deixa de existir:
1 - x = 0 \implies x = 1, \qquad x^{4} - 16 = 0 \implies x = 2 \text{ ou } x = -2.
Como o denominador não pode ser zero, excluímos x = \pm 2. Assim, os intervalos a testar são
(-\infty, -2),\;(-2, 1),\;(1, 2),\;(2, \infty).
Em cada intervalo, determinamos o sinal de 1-x e de x^{4}-16:
  • Para x< -2: 1-x>0 (pois x<1) e x^{4}-16>0 (pois |x|>2). Logo a fração é positiva.
  • Para -2<x<1: 1-x>0 e x^{4}-16<0 (pois |x|<2). Logo a fração é negativa.
  • Para 1<x<2: 1-x<0 e x^{4}-16<0. Logo a fração é positiva.
  • Para x>2: 1-x<0 e x^{4}-16>0. Logo a fração é negativa.

Passo 4

Queremos \frac{1-x}{x^{4}-16}>0, portanto mantêm-se os intervalos onde a fração é positiva. Além disso, excluímos os pontos onde o denominador se anula ( x=\pm2) e onde o numerador zera ( x=1), pois a desigualdade é estrita.

Resposta

(-\infty, -2)\;\cup\;(1, 2)

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