Exercício 0.34 Resolva as inequações dadas.
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação racional
O conteúdo aqui é análise de sinal de expressão racional: vamos identificar zeros de numerador e denominador, dividir a reta em intervalos críticos e determinar em quais deles a fração é positiva.
Passo 2
Primeiro, fatoramos numerador e denominador:
Repare que
para todo
, então o sinal de
depende apenas de
.
Passo 3
Identificamos os pontos críticos onde a expressão muda de sinal ou deixa de existir:
Como o denominador não pode ser zero, excluímos
. Assim, os intervalos a testar são
Em cada intervalo, determinamos o sinal de
e de
:
- Para
: (pois ) e (pois ). Logo a fração é positiva. - Para
: e (pois ). Logo a fração é negativa. - Para
: e . Logo a fração é positiva. - Para
: e . Logo a fração é negativa.
Passo 4
Queremos
, portanto mantêm-se os intervalos onde a fração é positiva. Além disso, excluímos os pontos onde o denominador se anula (
) e onde o numerador zera (
), pois a desigualdade é estrita.