Exercício 0.35 Resolva as equações.
|x+3|=|x|.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação \lvert x+3\rvert = \lvert x\rvert\). O conteúdo aqui é definição de valor absoluto, que diz \[\lvert a\rvert = \begin{cases} a, &\text{se }a\ge0,\\\\ -a, &\text{se }a<0. \end{cases}
Para resolver, vamos analisar os sinais de x+3\] e de \(x.

Passo 2

Identificamos os pontos críticos onde os sinais podem mudar: x=-3 e x=0. Isso divide a reta em três intervalos:
  1. x< -3,
  2. -3\le x<0,
  3. x\ge0.
    Em cada intervalo, substituímos \lvert x+3\rvert e \lvert x\rvert pela forma correspondente sem módulo.

Passo 3

Para x\ge0 temos x+3\ge3>0 e x\ge0, logo
\lvert x+3\rvert = x+3, \quad \lvert x\rvert = x.
A equação vira
x+3 = x
que implica 3=0. Não há solução em [0,\infty).

Passo 4

Para -3\le x<0 temos x+3\ge0 mas x<0, logo
\lvert x+3\rvert = x+3, \quad \lvert x\rvert = -x.
A equação passa a ser
x+3 = -x,
ou seja
2x = -3 \quad\Longrightarrow\quad x = -\tfrac{3}{2}.
Verificando a região, -3\le -\tfrac{3}{2}<0 está ok.

Passo 5

Para x< -3 temos x+3<0 e x<0, logo
\lvert x+3\rvert = -(x+3) = -x-3, \quad \lvert x\rvert = -x.
A equação fica
-\,x - 3 = -\,x
que dá -3=0. Não há solução em (-\infty,-3).

Resposta

x = -\tfrac{3}{2}

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