Exercício 34: Seja Z a variável aleatória com distribuição Normal Padrão, ou seja, Z sim N(0,1).
Encontre o valor de z tal que
P(Z<z)=0,0268
P(Z>z)=0,0268
P(Z<z)=0,9732
P(Z>z)=0,9732
P(-z<Z<z)=0,9464

Passo 1

O enunciado diz que Z é normal padrão, ou seja Zsim N(0,1), e pede vários valores de z tais que certas probabilidades envolvendo Z sejam iguais a números dados. O conteúdo é uso de quantis da normal padrão, e vamos precisar da função inversa da distribuição acumulada Phi, isto é z=Phi^-1(p).

Passo 2

Seja Phi(z)= P(Z<z).
  • Quando pedem P(Z<z)=p, basta tomar
z = Phi^-1(p)
  • Quando pedem P(Z>z)=q, note que
P(Z>z)=qimplies Phi(z)=1-q implies z=Phi^-1(1-q)

Passo 3

Usando tabela ou software da normal padrão, encontramos
Phi^-1(0,0268)approx -1,93, Phi^-1(0,9732)approx +1,93
Chamemos z1=-1,93 e z2=+1,93.

Passo 4

Aplicando a cada caso:
(a) P(Z<z)=0,0268
z=Phi^-1(0,0268)=z1approx -1,93
(b) P(Z>z)=0,0268
Phi(z)=1-0,0268=0,9732 implies z=Phi^-1(0,9732)=z2approx +1,93
(c) P(Z<z)=0,9732
z=Phi^-1(0,9732)=z2approx +1,93
(d) P(Z>z)=0,9732
Phi(z)=1-0,9732=0,0268 implies z=Phi^-1(0,0268)=z1approx -1,93

Passo 5

Para P(-z<Z<z)=0,9464, que é um intervalo simétrico, usamos
P(-z<Z<z)=2,Phi(z)-1=0,9464 implies Phi(z)=tfrac1+0,94642=0,9732 implies z=Phi^-1(0,9732)=z2approx +1,93

Resposta

(a) zapprox -1,93
(b) zapprox +1,93
(c) zapprox +1,93
(d) zapprox -1,93
(e) zapprox +1,93

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