A função densidade de probabilidade da massa de pacotes entregues pelos correios é dada pela função a seguir:
f(x)=0,5085 x^-2(0,5 <= x <= 30,0) k g
(a) Determine a média e a variância da massa.
(b) Se o custo de entrega for R 2,00$ por quilograma, qual será o custo médio para entregar um pacote?
(c) Qual a probabilidade de um pacote exceder 20 kg ?

Passo 1

O enunciado nos dá uma variável aleatória contínua X que representa a massa de pacotes, com densidade
f(x)=0,5085,x^-2, 0,5<= x<=30
Pede-se: (a) média mu=E[X] e variância Var(X); (b) custo médio se o custo é R$2,00 por kg; (c) P(X>20).

Passo 2

Para calcular a média usamos
E[X]=integral0,5^30x,f(x),dx =integral0,5^300,5085,x^-1,dx =0,5085l[ln xr]0,5^30 =0,5085l(ln30-ln0,5r)
Como ln(30/0,5)=ln60approx4,094345,
E[X]approx0,5085cdot4,094345approx2,082 kg

Passo 3

Para a variância precisamos de E[X^2]:
E[X^2] =integral0,5^30x^2,f(x),dx =integral0,5^300,5085,x^0,dx =0,5085l[xr]0,5^30 =0,5085,(30-0,5) =0,5085cdot29,5approx15,00075
Então
Var(X) =E[X^2]-(E[X])^2 approx15,00075-(2,082)^2 approx15,00075-4,333 approx10,668 (kg^2)

Passo 4

Se o custo C é R$2,00 por kg, temos C=2X e
E[C]=2,E[X]approx2cdot2,082approx4,164 R$

Passo 5

A probabilidade de exceder 20 kg é
P(X>20) =integral20^300,5085,x^-2,dx =0,5085l[-x^-1r]20^30 =0,5085l(120-130r) =0,5085cdot160 approx0,008475

Resposta

(a) E[X]approx2,082 kg e Var(X)approx10,668 k g^2
(b) custo médio approx R$4,164
(c) P(X>20)approx0,00848

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