Exercício 35: Seja X o valor da “razão da medida da cintura pela medida do quadril (RCQ)”. Suponha que, para mulheres adultas sadias, a variável aleatória X tenha distribuição Normal com média 0,6 e desvio-padrão 0,1 .
(a) Uma mulher sadia é selecionada aleatoriamente. Calcule a probabilidade desta mulher: I. ter razão cintura-quadril menor que 0,45 .
II. ter razão cintura-quadril maior que 0,85 .
III. ter razão cintura-quadril entre 0,50 e 0,65 .
(b) Encontre uma faixa de valores, centrada na média, que contenha 95 % dos valores da RCQ.

Passo 1

O enunciado considera a variável aleatória X que mede a razão cintura-quadril em mulheres adultas sadias e assume que
X sim N(mu=0,6,;sigma=0,1)
Pede-se em (a) as probabilidades
I. Pr(X<0,45),
II. Pr(X>0,85),
III. Pr(0,50 <= X <= 0,65);
e em (b) o intervalo simétrico em torno de mu que contém 95% dos valores de X. Vamos usar padronização para a Normal.

Passo 2

Para qualquer a,
Pr(X<a)=Prl(Z<a-musigmar),
onde Zsim N(0,1).
I. Para a=0,45,
z1=0,45-0,60,1=-1,5,
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Pr(X<0,45)=Pr(Z<-1,5)=Phi(-1,5)approx 0,0668

Passo 3

II. Para b=0,85,
z2=0,85-0,60,1=2,5,
então
Pr(X>0,85)=Pr(Z>2,5)=1-Phi(2,5)approx 1-0,9938=0,0062

Passo 4

III. Para o intervalo de 0,50 a 0,65, padronizamos os extremos:
zmin=0,50-0,60,1=-1, zmax=0,65-0,60,1=0,5
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Pr(0,50<= X<=0,65) =Pr(-1<= Z<=0,5) =Phi(0,5)-Phi(-1) approx0,6915-0,1587=0,5328

Passo 5

(b) O intervalo centrado em mu que contém 95% dos valores de uma N(mu,sigma^2) é
l[mu - z0,975,sigma,;mu + z0,975,sigmar],
onde z0,975approx1,96. Assim,
l[0,6 - 1,96cdot0,1,;0,6 + 1,96cdot0,1r] =[0,6 - 0,196,;0,6 + 0,196] =[0,404,;0,796]

Resposta

(a) I. 0,0668
II. 0,0062
III. 0,5328
(b) [0,404,;0,796]

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