Exercício 34: Seja
uma variável aleatória com densidade
Mostre que, de fato,
é uma densidade.
Passo 1
O enunciado dá a função
A tarefa é mostrar que
é, de fato, uma densidade de probabilidade. Informações relevantes fornecidas:
- O valor de
para é . - Implicitamente assumimos que
para (ou seja, o suporte da densidade é ). - O que se pede: verificar as duas condições que definem uma densidade de probabilidade (não-negatividade e integral total igual a 1).
Passo 2
Relembrando, para uma função
ser densidade de probabilidade ela precisa satisfazer duas condições:
- Não-negatividade:
para todo . - Normalização: a integral da densidade em toda a reta é igual a 1, isto é,
Vou verificar cada uma dessas condições passo a passo. Também preciso explicar rapidamente como lidar com integrais impróprias, porque o suporte
é ilimitado.
Passo 3
Verificação da não-negatividade. Para
temos
, então
Para
assumimos
. Portanto
para todo
. Essa condição está satisfeita.
Passo 4
Explicação sobre integrais impróprias (curta aula): quando a função é definida em um intervalo não limitado, por exemplo
, a integral é definida como um limite:
desde que esse limite exista e seja finito. Aqui usaremos essa definição com
.
Passo 5
Calcular a integral total de
. Como
para
, temos
Agora aplicamos a definição de integral imprópria:
A primitiva de
é
(isto é,
). Então
Fazendo
obtemos
Passo 6
Conclusão final: já mostramos que
para todo
e que
Portanto
satisfaz as duas condições de uma densidade de probabilidade e, assim, é de fato uma densidade.
Resposta
Sim.
é densidade porque
para todo
e
.