Exercício 34: Seja X uma variável aleatória com densidade
f(x)=\frac{1}{x^{2}}, x \geq 1 .
Mostre que, de fato, f é uma densidade.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{1}{x^{2}},\quad x\ge 1.
A tarefa é mostrar que f é, de fato, uma densidade de probabilidade. Informações relevantes fornecidas:
  • O valor de f(x) para x\ge 1 é \dfrac{1}{x^{2}}.
  • Implicitamente assumimos que f(x)=0 para x<1 (ou seja, o suporte da densidade é [1,\infty)).
  • O que se pede: verificar as duas condições que definem uma densidade de probabilidade (não-negatividade e integral total igual a 1).

Passo 2

Relembrando, para uma função f ser densidade de probabilidade ela precisa satisfazer duas condições:
  1. Não-negatividade: f(x)\ge 0 para todo x\in\mathbb{R}.
  2. Normalização: a integral da densidade em toda a reta é igual a 1, isto é,
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Vou verificar cada uma dessas condições passo a passo. Também preciso explicar rapidamente como lidar com integrais impróprias, porque o suporte [1,\infty) é ilimitado.

Passo 3

Verificação da não-negatividade. Para x\ge 1 temos x^{2}>0, então
\frac{1}{x^{2}}>0.
Para x<1 assumimos f(x)=0. Portanto f(x)\ge 0 para todo x\in\mathbb{R}. Essa condição está satisfeita.

Passo 4

Explicação sobre integrais impróprias (curta aula): quando a função é definida em um intervalo não limitado, por exemplo [1,\infty), a integral é definida como um limite:
\int_{1}^{\infty} g(x)\,dx := \lim_{b\to\infty} \int_{1}^{b} g(x)\,dx,
desde que esse limite exista e seja finito. Aqui usaremos essa definição com g(x)=x^{-2}.

Passo 5

Calcular a integral total de f. Como f(x)=0 para x<1, temos
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}}\,dx.
Agora aplicamos a definição de integral imprópria:
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}}\,dx = \lim_{b\to\infty} \int_{1}^{b} x^{-2}\,dx.
A primitiva de x^{-2} é -x^{-1} (isto é, \displaystyle\frac{d}{dx}\big(-x^{-1}\big)=x^{-2}). Então
\int_{1}^{b} x^{-2}\,dx = \bigl[-x^{-1}\bigr]_{1}^{b} = \bigl(-\tfrac{1}{b}\bigr)-\bigl(-1\bigr)=1-\tfrac{1}{b}.
Fazendo b\to\infty obtemos
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}}\,dx = \lim_{b\to\infty}\left(1-\tfrac{1}{b}\right)=1.

Passo 6

Conclusão final: já mostramos que f(x)\ge 0 para todo x e que
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Portanto f satisfaz as duas condições de uma densidade de probabilidade e, assim, é de fato uma densidade.

Resposta

Sim. f é densidade porque f(x)\ge 0 para todo x e \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx=1.

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