Exercício 36 Justifique as afirmações a seguir quando forem verdadeiras ou apresente um contraexemplo quando forem falsas.
Se A e B forem matrizes 2 \times 2, então A B=B A.

Passo 1

O enunciado afirma: “Se A e B forem matrizes 2\times2, então A B=B A.”
O que se pede: justificar se essa afirmação é verdadeira ou, se for falsa, apresentar um contraexemplo.
Informações dadas: A e B são matrizes de ordem 2 (isto é, ambas têm dimensão 2\times2).
Não se começa a resolver aqui — apenas foi listado o que o problema pede e o que é dado.

Passo 2

Vamos lembrar a definição de multiplicação de matrizes no caso 2\times2. Se
A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\[4pt] a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}b_{11} & b_{12} \\[4pt] b_{21} & b_{22}\end{pmatrix},
então o produto AB é a matriz 2\times2 cujas entradas são obtidas pegando o produto escalar de linhas de A com colunas de B. Explicitamente,
AB=\begin{pmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22} \\[6pt] a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \end{pmatrix}.
Aqui cada a_{ij} e b_{ij} é um número (entrada da respectiva matriz). Note que a regra envolve somas e produtos das entradas — a ordem entre A e B pode afetar essas combinações, então não é óbvio a priori que AB=BA.]

Passo 3

Estratégia para decidir a verdade da afirmação: procurar um contraexemplo simples. Se existir pelo menos um par de matrizes 2\times2 tais que AB\neq BA, então a afirmação geral é falsa. Vou escolher matrizes com entradas pequenas inteiras para facilitar cálculo manual e a visualização do porquê da não comutatividade.
Escolho
A=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Motivação da escolha (breve): A e B são matrizes que “deslocam” componentes diferentes; essas matrizes nilpotentes costumam produzir produtos diferentes dependendo da ordem. Vamos verificar explicitamente.]

Passo 4

Calcular AB usando a fórmula do produto:
AB=\begin{pmatrix} 0\cdot 0 + 1\cdot 1 & 0\cdot 0 + 1\cdot 0 \\[6pt] 0\cdot 0 + 0\cdot 1 & 0\cdot 0 + 0\cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 \end{pmatrix}.
Detalhando cada entrada:
  • Entrada (1,1): a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}=0\cdot0+1\cdot1=1.
  • Entrada (1,2): a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}=0\cdot0+1\cdot0=0.
  • Linha 2 resulta em zeros porque os elementos de linha 2 de A são zeros.]

Passo 5

Calcular BA:
BA=\begin{pmatrix} 0\cdot 0 + 0\cdot 0 & 0\cdot 1 + 0\cdot 0 \\[6pt] 1\cdot 0 + 0\cdot 0 & 1\cdot 1 + 0\cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 \end{pmatrix}.
Detalhando:
  • Entrada (2,2): b_{21}a_{12}+b_{22}a_{22}=1\cdot1+0\cdot0=1.
  • As outras entradas dão zero conforme mostrado.]

Passo 6

Comparação direta:
AB=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}, \qquad BA=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Essas matrizes não são iguais (por exemplo, a entrada (1,1) de AB é 1 enquanto a de BA é 0). Portanto AB\neq BA para as matrizes escolhidas.]

Passo 7

Conclusão e intuição: como encontramos um par de matrizes 2\times2 para os quais AB\neq BA, a afirmação original é falsa. Intuitivamente, matrizes representam transformações lineares e a composição de transformações costuma depender da ordem: aplicar primeiro uma transformação e depois outra, em geral, dá resultado diferente de aplicar na ordem inversa. Só em casos especiais (por exemplo, quando A e B são ambas escalares múltiplos da identidade, ou quando comutam por alguma razão particular) tem-se AB=BA.

Passo 8

Resumo prático para a prova: para refutar uma afirmação universal do tipo “para todas as matrizes 2\times2, …”, basta construir um contraexemplo explícito e mostrar o cálculo de AB e BA que prova que a igualdade falha. Esse procedimento é curto e seguro — ótimo para a prova quando a afirmação for falsa. Força aí!

Resposta

A afirmação é falsa. Um contraexemplo é
A=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix},
pois
AB=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}\neq \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}=BA.]

Exercícios relacionados