Exercício 36 Justifique as afirmações a seguir quando forem verdadeiras ou apresente um contraexemplo quando forem falsas.
Se
e
forem matrizes
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado afirma: “Se
e
forem matrizes
, então
.”
O que se pede: justificar se essa afirmação é verdadeira ou, se for falsa, apresentar um contraexemplo.
Informações dadas: e
são matrizes de ordem
(isto é, ambas têm dimensão
).
Não se começa a resolver aqui — apenas foi listado o que o problema pede e o que é dado.
O que se pede: justificar se essa afirmação é verdadeira ou, se for falsa, apresentar um contraexemplo.
Informações dadas:
Não se começa a resolver aqui — apenas foi listado o que o problema pede e o que é dado.
Passo 2
Vamos lembrar a definição de multiplicação de matrizes no caso
. Se
então o produto
é a matriz
cujas entradas são obtidas pegando o produto escalar de linhas de
com colunas de
. Explicitamente,
Aqui cada
e
é um número (entrada da respectiva matriz). Note que a regra envolve somas e produtos das entradas — a ordem entre
e
pode afetar essas combinações, então não é óbvio a priori que
.]
Passo 3
Estratégia para decidir a verdade da afirmação: procurar um contraexemplo simples. Se existir pelo menos um par de matrizes
tais que
, então a afirmação geral é falsa. Vou escolher matrizes com entradas pequenas inteiras para facilitar cálculo manual e a visualização do porquê da não comutatividade.
Escolho
Motivação da escolha (breve):
e
são matrizes que “deslocam” componentes diferentes; essas matrizes nilpotentes costumam produzir produtos diferentes dependendo da ordem. Vamos verificar explicitamente.]
Passo 4
Calcular
usando a fórmula do produto:
Detalhando cada entrada:
- Entrada
: . - Entrada
: . - Linha 2 resulta em zeros porque os elementos de linha 2 de
são zeros.]
Passo 5
Calcular
:
Detalhando:
- Entrada
: . - As outras entradas dão zero conforme mostrado.]
Passo 6
Comparação direta:
Essas matrizes não são iguais (por exemplo, a entrada
de
é
enquanto a de
é
). Portanto
para as matrizes escolhidas.]
Passo 7
Conclusão e intuição: como encontramos um par de matrizes
para os quais
, a afirmação original é falsa. Intuitivamente, matrizes representam transformações lineares e a composição de transformações costuma depender da ordem: aplicar primeiro uma transformação e depois outra, em geral, dá resultado diferente de aplicar na ordem inversa. Só em casos especiais (por exemplo, quando
e
são ambas escalares múltiplos da identidade, ou quando comutam por alguma razão particular) tem-se
.
Passo 8
Resumo prático para a prova: para refutar uma afirmação universal do tipo “para todas as matrizes
, …”, basta construir um contraexemplo explícito e mostrar o cálculo de
e
que prova que a igualdade falha. Esse procedimento é curto e seguro — ótimo para a prova quando a afirmação for falsa. Força aí!
Resposta
A afirmação é falsa. Um contraexemplo é
pois