Exercício 3.35. Calcule a aceleração tangencial e a aceleração centrípeta para todo instante
na trajetória seguida por uma partícula em cada caso.
;
Passo 1
O enunciado dá a trajetória
e pede: para todo instante
calcular a aceleração tangencial e a aceleração centrípeta. Informação importante sobre domínio: as potências
e
exigem
e
, logo o domínio natural da trajetória é
. Neste domínio vamos obter as grandezas pedidas.
Passo 2
Primeiro passo técnico: calcular a velocidade
. Vamos derivar componente a componente usando a regra da potência: se
então
.
Derivando cada componente:
Derivando cada componente:
Portanto
Passo 3
Agora calculamos a rapidez (módulo da velocidade)
. Calculemos o quadrado:
Simplificando:
Somando os termos dentro:
Logo
para todo
em
. Comentário didático: isso significa que a partícula se desloca com velocidade de módulo constante igual a 1 (unidade), então a componente tangencial da aceleração será zero porque a rapidez não varia.
Passo 4
Definição e fórmula útil: a aceleração tangencial escalar
é a taxa de variação da rapidez, ou seja
Como acabamos de encontrar
constante, segue diretamente
Outra forma equivalente (que também veremos abaixo) é
; com rapidez constante espera-se
.
Passo 5
Agora vamos calcular a aceleração vetorial
. Derivando cada componente de
:
Portanto
Passo 6
Verificação do ortogonalidade
(coerente com rapidez constante): calculemos
Cada produto simplifica para
, logo
. Isso confirma
e mostra que toda a aceleração é normal (centrípeta) à trajetória.
Passo 7
Agora a aceleração centrípeta pedida é a componente normal da aceleração. Como a componente tangencial é zero, a magnitude da aceleração centrípeta é simplesmente
. Vamos calcular:
Somando as frações dentro:
Logo
Tomando raiz positiva,
Observação: essa expressão está bem definida para
; nos extremos
aparecem divergências por causa das raízes na expressão original (mas os pontos finais do domínio devem ser tratados com cuidado).
Passo 8
Interpretação final e forma vetorial: como
, toda a aceleração é centrípeta e o vetor aceleração centrípeta é exatamente
que já encontramos:
Isso significa que a aceleração está sempre perpendicular à velocidade (movimento com rapidez constante), apontando para a curvatura da trajetória.