Exercício 3.35. Calcule a aceleração tangencial e a aceleração centrípeta para todo instante t na trajetória seguida por uma partícula em cada caso.
\vec{r}(t)=\left(\frac{1}{3}(1+t)^{3 / 2}, \frac{1}{3}(1-t)^{3 / 2}, \frac{t}{\sqrt{2}}\right);

Passo 1

O enunciado dá a trajetória
\vec{r}(t)=\left(\frac{1}{3}(1+t)^{3/2},\;\frac{1}{3}(1-t)^{3/2},\;\frac{t}{\sqrt{2}}\right),
e pede: para todo instante t calcular a aceleração tangencial e a aceleração centrípeta. Informação importante sobre domínio: as potências (1+t)^{3/2} e (1-t)^{3/2} exigem 1+t\ge 0 e 1-t\ge 0, logo o domínio natural da trajetória é -1\le t\le 1. Neste domínio vamos obter as grandezas pedidas.

Passo 2

Primeiro passo técnico: calcular a velocidade \vec{v}(t)=\dfrac{d\vec{r}}{dt}. Vamos derivar componente a componente usando a regra da potência: se f(t)=(1\pm t)^{3/2} então f'(t)=\tfrac{3}{2}(1\pm t)^{1/2}\cdot(\pm 1).
Derivando cada componente:
v_x(t)=\frac{d}{dt}\left[\frac{1}{3}(1+t)^{3/2}\right]=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}(1+t)^{1/2}=\frac{1}{2}(1+t)^{1/2},
v_y(t)=\frac{d}{dt}\left[\frac{1}{3}(1-t)^{3/2}\right]=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}(1-t)^{1/2}\cdot(-1)=-\frac{1}{2}(1-t)^{1/2},
v_z(t)=\frac{d}{dt}\left[\frac{t}{\sqrt{2}}\right]=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Portanto
\vec{v}(t)=\left(\frac{1}{2}(1+t)^{1/2},\; -\frac{1}{2}(1-t)^{1/2},\; \frac{1}{\sqrt{2}}\right).

Passo 3

Agora calculamos a rapidez (módulo da velocidade) \|\vec{v}(t)\|. Calculemos o quadrado:
\|\vec{v}(t)\|^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2(1+t)+\left(-\frac{1}{2}\right)^2(1-t)+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2.
Simplificando:
\|\vec{v}(t)\|^2=\frac{1}{4}(1+t)+\frac{1}{4}(1-t)+\frac{1}{2}.
Somando os termos dentro:
\frac{1}{4}(1+t+1-t)+\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\cdot 2+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1.
Logo \|\vec{v}(t)\|=1 para todo t em [-1,1]. Comentário didático: isso significa que a partícula se desloca com velocidade de módulo constante igual a 1 (unidade), então a componente tangencial da aceleração será zero porque a rapidez não varia.

Passo 4

Definição e fórmula útil: a aceleração tangencial escalar a_t(t) é a taxa de variação da rapidez, ou seja
a_t(t)=\frac{d}{dt}\|\vec{v}(t)\|.
Como acabamos de encontrar \|\vec{v}(t)\|=1 constante, segue diretamente
a_t(t)=0\quad\text{para todo }t\in[-1,1].
Outra forma equivalente (que também veremos abaixo) é a_t=(\vec{v}\cdot\vec{a})/\|\vec{v}\|; com rapidez constante espera-se \vec{v}\cdot\vec{a}=0.

Passo 5

Agora vamos calcular a aceleração vetorial \vec{a}(t)=\dfrac{d\vec{v}}{dt}=\dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2}. Derivando cada componente de \vec{v}(t):
a_x(t)=\frac{d}{dt}\left[\frac{1}{2}(1+t)^{1/2}\right]=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}(1+t)^{-1/2}=\frac{1}{4}(1+t)^{-1/2},
a_y(t)=\frac{d}{dt}\left[-\frac{1}{2}(1-t)^{1/2}\right]=- \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}(1-t)^{-1/2}\cdot(-1)=\frac{1}{4}(1-t)^{-1/2},
a_z(t)=\frac{d}{dt}\left[\frac{1}{\sqrt{2}}\right]=0.
Portanto
\vec{a}(t)=\left(\frac{1}{4}(1+t)^{-1/2},\; \frac{1}{4}(1-t)^{-1/2},\; 0\right).

Passo 6

Verificação do ortogonalidade \vec{v}\cdot\vec{a}=0 (coerente com rapidez constante): calculemos
\vec{v}\cdot\vec{a}=\frac{1}{2}(1+t)^{1/2}\cdot\frac{1}{4}(1+t)^{-1/2}+(-\frac{1}{2}(1-t)^{1/2})\cdot\frac{1}{4}(1-t)^{-1/2}+0.
Cada produto simplifica para \pm\frac{1}{8}, logo \vec{v}\cdot\vec{a}=\frac{1}{8}-\frac{1}{8}=0. Isso confirma a_t=0 e mostra que toda a aceleração é normal (centrípeta) à trajetória.

Passo 7

Agora a aceleração centrípeta pedida é a componente normal da aceleração. Como a componente tangencial é zero, a magnitude da aceleração centrípeta é simplesmente \|\vec{a}(t)\|. Vamos calcular:
\|\vec{a}(t)\|^2=\left(\frac{1}{4}\right)^2(1+t)^{-1}+\left(\frac{1}{4}\right)^2(1-t)^{-1}=\frac{1}{16}\left(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}\right).
Somando as frações dentro:
\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}=\frac{1-t+1+t}{1-t^2}=\frac{2}{1-t^2}.
Logo
\|\vec{a}(t)\|^2=\frac{1}{16}\cdot\frac{2}{1-t^2}=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{1-t^2}.
Tomando raiz positiva,
\|\vec{a}(t)\|=\frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{1-t^2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}\,\sqrt{1-t^2}}.
Observação: essa expressão está bem definida para -1<t<1; nos extremos t=\pm 1 aparecem divergências por causa das raízes na expressão original (mas os pontos finais do domínio devem ser tratados com cuidado).

Passo 8

Interpretação final e forma vetorial: como a_t(t)=0, toda a aceleração é centrípeta e o vetor aceleração centrípeta é exatamente \vec{a}(t) que já encontramos:
\vec{a}(t)=\left(\frac{1}{4}(1+t)^{-1/2},\; \frac{1}{4}(1-t)^{-1/2},\; 0\right).
Isso significa que a aceleração está sempre perpendicular à velocidade (movimento com rapidez constante), apontando para a curvatura da trajetória.

Resposta

a_t(t)=0
a_{\text{centrípeta}}(t)=\displaystyle \|\vec{a}(t)\|=\frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{1-t^{2}}}í

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