Exercício 35. Calcule \iint_{D} \frac{x^{2}+y^{2}}{9} d x d y, onde D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 9, x \geq 0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} \frac{x^{2}+y^{2}}{9}\,dx\,dy
onde a região D é dada por
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 1 \le x^{2}+y^{2} \le 9,\\ x\ge 0\}.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A condição 1 \le x^{2}+y^{2} \le 9 descreve um anel (uma coroa circular) entre as circunferências de raio 1 e raio 3.
  • A condição x\ge 0 restringe esse anel à metade direita do plano (semicírculo à direita).
  • O integrando é \dfrac{x^{2}+y^{2}}{9}.

Passo 2

Escolha do sistema de coordenadas: como a região é radial (depende de x^{2}+y^{2}), usar coordenadas polares simplifica muito. Em coordenadas polares definimos
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância à origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo.
Determinar os limites em polares para D:
  • A desigualdade 1 \le x^{2}+y^{2} \le 9 vira 1 \le r^{2} \le 9, ou seja
1 \le r \le 3.
  • A condição x\ge 0 em polares é \cos\theta \ge 0, o que acontece quando
-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}.
Logo, na descrição polar, r\in[1,3] e \theta\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right].

Passo 3

Mudança do integrando e do elemento de área: em polares vale
x^{2}+y^{2}=r^{2}.
Além disso, o elemento de área dx\,dy transforma-se em r\,dr\,d\theta (esse r é o determinante jacobiano da transformação polar). Uma forma intuitiva de ver isso é que um pequeno retângulo em (r,\theta) tem área aproximada r\,\Delta r\,\Delta\theta.
Portanto o integrando \dfrac{x^{2}+y^{2}}{9}\,dx\,dy fica
\frac{r^{2}}{9}\cdot r\,dr\,d\theta=\frac{r^{3}}{9}\,dr\,d\theta.

Passo 4

Montar a integral em coordenadas polares com os limites encontrados:
\iint_{D}\frac{x^{2}+y^{2}}{9}\,dx\,dy = \int_{\theta=-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{r=1}^{3} \frac{r^{3}}{9}\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral interna em r. Primeiro fatorar a constante \dfrac{1}{9}:
\int_{r=1}^{3}\frac{r^{3}}{9}\,dr =\frac{1}{9}\int_{1}^{3}r^{3}\,dr =\frac{1}{9}\left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{1}^{3}.
Agora avaliar:
\left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{1}^{3}=\frac{3^{4}}{4}-\frac{1^{4}}{4}=\frac{81-1}{4}=\frac{80}{4}=20.
Portanto a integral interna vale
\frac{1}{9}\cdot 20=\frac{20}{9}.

Passo 6

Calcular a integral externa em \theta. Como a integral interna não depende de \theta, temos
\int_{\theta=-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{20}{9}\,d\theta =\frac{20}{9}\left[\theta\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} =\frac{20}{9}\left(\frac{\pi}{2}-\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) =\frac{20}{9}\cdot \pi.
Portanto o valor da integral dupla é \dfrac{20\pi}{9}.

Resposta

\dfrac{20\pi}{9}

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