Exercício 35. Calcule
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde a região
é dada por
Informações importantes extraídas do enunciado:
- A condição
descreve um anel (uma coroa circular) entre as circunferências de raio e raio . - A condição
restringe esse anel à metade direita do plano (semicírculo à direita). - O integrando é
.
Passo 2
Escolha do sistema de coordenadas: como a região é radial (depende de
), usar coordenadas polares simplifica muito. Em coordenadas polares definimos
onde
é a distância à origem e
é o ângulo medido a partir do eixo
positivo.
Determinar os limites em polares para
:
- A desigualdade
vira , ou seja
- A condição
em polares é , o que acontece quando
Logo, na descrição polar,
e
.
Passo 3
Mudança do integrando e do elemento de área: em polares vale
Além disso, o elemento de área
transforma-se em
(esse
é o determinante jacobiano da transformação polar). Uma forma intuitiva de ver isso é que um pequeno retângulo em
tem área aproximada
.
Portanto o integrando
fica
Passo 4
Montar a integral em coordenadas polares com os limites encontrados:
Passo 5
Calcular a integral interna em
. Primeiro fatorar a constante
:
Agora avaliar:
Portanto a integral interna vale
Passo 6
Calcular a integral externa em
. Como a integral interna não depende de
, temos
Portanto o valor da integral dupla é
.