Exercício 35. Em uma pizzaria com entrega em domicílio, 30 % dos pedidos por telefone são de mais de uma pizza. Certo dia, o dono decide mandar um brinde ao cliente que fizer o primeiro pedido com mais de uma pizza. Seja X o número de pedidos até o ganhador do brinde.
a) Qual a distribuição de X ?
b) Determine o menor número de pedidos necessários para garantir que o brinde saia com probabilidade maior que 0,9 .
c) Calcule E(X) e Var(X)

Passo 1

Beleza, o exercício diz que numa pizzaria 30 % dos pedidos têm mais de uma pizza e a gente vai mandar um brinde para o primeiro que fizer um pedido assim. Definimos como o número de tentativas (pedidos) até o sucesso (o pedido com mais de uma pizza).
Conteúdo: distribuição geométrica, função massa de probabilidade, função de distribuição acumulada, esperança e variância.
O que precisamos:
  • Saber que, para uma v.a. geométrica com parâmetro ,
    .
  • Saber usar a soma de uma progressão geométrica para calcular .
  • As fórmulas
    e .

Passo 2

(a) Qual a distribuição de P(X=k);=;(1-0,3)^k-1,(0,3) ;=;0,7^,k-1times0,3, ?
Aqui é direto: como cada pedido é “sucesso” com probabilidade e “fracasso” com , a função massa de probabilidade é
para .

Passo 3

(b) Menor P(X<= n) =1-P(X>n) =1-(1-p)^n =1-0,7^n, para garantir 1-0,7^n>0,9 Longrightarrow 0,7^n<0,1 .
Sabendo que
nln(0,7)ln(0,1)ln(0,7)
queremos
ln(0,1)approx -2,3026, ln(0,7)approx -0,3567,
Agora aplicamos logaritmo:
n> -2,3026-0,3567 approx6,46
Calculando:
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Como é inteiro, o menor é 7.

Passo 4

© Calcular E(X)=1p=10,3approx3,333, e Var(X)=1-pp^2 =0,7(0,3)^2 =0,70,09approx7,778 .
Para a geométrica temos:

Resposta

a) .
b) É preciso pedidos para que .
c) e .

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