Exercício 33. Um computador foi usado para gerar sete números aleatórios no intervalo
[0,1]. calcule a probabilidade de que:
menos do que três sejam maiores que 3 / 4

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um computador que gerou 7 números aleatórios no intervalo . A pergunta é: qual a probabilidade de que “menos do que 3” desses 7 números sejam maiores que ?
Matéria: Distribuição Binomial.
O que a gente vai precisar:
  • Identificar o “sucesso” (número ),
  • Saber que em cada tentativa a probabilidade de sucesso é constante,
  • Usar a fórmula da probabilidade binomial.

Passo 2

Vamos chamar de p = P(número>3/4) = 1 - tfrac34 = tfrac14 a quantidade de números (dos 7) que saíram maiores que Xsim Binomial(7,tfrac14) .
Como os números são uniformes em , a chance de um número ser maior que é
ú
Logo, tem distribuição binomial com parâmetros e :

Passo 3

A gente quer “menos do que 3” sucessos, ou seja
P(X<3) ;=; P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)
A fórmula geral é
P(X=k) ;=; binomnk,p^k,(1-p)^,n-k

Passo 4

Vamos calcular cada termo:
  1. P(X=0) = binom70l(tfrac14r)^0l(tfrac34r)^7 = (1)cdot1cdotl(tfrac34r)^7 :
P(X=1) = binom71l(tfrac14r)^1l(tfrac34r)^6 = 7cdottfrac14cdotl(tfrac34r)^6
  1. P(X=2) = binom72l(tfrac14r)^2l(tfrac34r)^5 = 21cdottfrac116cdotl(tfrac34r)^5 :
P(X<3) = l(tfrac34r)^7 + 7cdottfrac14cdotl(tfrac34r)^6 + 21cdottfrac116cdotl(tfrac34r)^5
  1. :
Agora somamos:

Resposta

P(menos de 3 > 3/4) = sumk=0^2 binom7kl(tfrac14r)^kl(tfrac34r)^7-k approx 0,756

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