Exercício 33. Um computador foi usado para gerar sete números aleatórios no intervalo
[0,1]. calcule a probabilidade de que:
exatamente três números estejam entre 1 / 2 e 1 .

Passo 1

Beleza, o exercício fala que a gente sorteia 7 números aleatórios no intervalo e quer a probabilidade de exatamente 3 desses 7 estarem entre e 1.
Conteúdo: Distribuição Binomial.
O que vamos precisar:
  • Entender que cada número é um “teste” com só dois resultados (“está em [1/2,1]” ou “não está”).
  • Usar a fórmula da probabilidade binomial, que envolve combinações e potências.

Passo 2

Primeiro, modela cada número como uma variável de Bernoulli:
  • Sucesso = número cai em p = tamanho de [1/2,1]tamanho de [0,1] = 1/21 = tfrac12 .
  • Falha = número cai em .
    Como é uniforme, a chance de cair em é
E a falha tem probabilidade .

Passo 3

Como são 7 números independentes, a variável P(X=k) ;=; binomnk,p^k,(1-p)^,n-k = “número de sucessos em 7 tentativas” segue uma binomial .
A fórmula geral é

Passo 4

Aqui queremos P(X=3) ;=; binom73,l(tfrac12r)^3,l(tfrac12r)^7-3 . Então:
A parte teórica:
é o número de jeitos de escolher quais 3 dentre os 7 números dão sucesso.

Passo 5

Calculando a combinação:
binom73 = 7times6times53times2times1 = 35

Passo 6

Juntando tudo:
P(X=3) = 35 times l(tfrac12r)^3 times l(tfrac12r)^4 = 35 times l(tfrac12r)^7 = 35 times 1128 = 35128

Resposta

.

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