Exercício 33. Um computador foi usado para gerar sete números aleatórios no intervalo
. calcule a probabilidade de que:
exatamente três números estejam entre
e 1 .
Passo 1
Beleza, o exercício fala que a gente sorteia 7 números aleatórios no intervalo
e quer a probabilidade de exatamente 3 desses 7 estarem entre
e 1.
Conteúdo: Distribuição Binomial.
O que vamos precisar:
Conteúdo: Distribuição Binomial.
O que vamos precisar:
- Entender que cada número é um “teste” com só dois resultados (“está em [1/2,1]” ou “não está”).
- Usar a fórmula da probabilidade binomial, que envolve combinações e potências.
Passo 2
Primeiro, modela cada número como uma variável de Bernoulli:
- Sucesso = número cai em
. - Falha = número cai em
.
Como é uniforme, a chance de cair emé
E a falha tem probabilidade
.
Passo 3
Como são 7 números independentes, a variável
= “número de sucessos em 7 tentativas” segue uma binomial
.
A fórmula geral é
A fórmula geral é
Passo 4
Aqui queremos
. Então:
A parte teórica:
é o número de jeitos de escolher quais 3 dentre os 7 números dão sucesso.
Passo 5
Calculando a combinação:
Passo 6
Juntando tudo: