Exercício 36: Confira as porcentagens de 68,3%, 95,4% e 99,7% para os intervalos de média mais ou menos um, dois e três desvios-padrão, respectivamente, para uma variável X sim Normal(mu, sigma^2).

Passo 1

O enunciado pede para verificar as porcentagens que caem em torno da média num modelo Normal !Xsim N(mu,sigma^2), mais precisamente nos intervalos
mupmsigma, mupm2sigma e mupm3sigma. O conteúdo aqui é padronização de variável Normal e uso da função de distribuição acumulada padrão Phi.

Passo 2

Para qualquer k>0,
P(mu - ksigma <= X <= mu + ksigma) = Pl(-k <= tfracX-musigma <= kr) = P(-k <= Z <= k),
onde Z=(X-mu)/sigmasim N(0,1). Pela simetria da Normal padrão,
P(-k <= Z <= k) = Phi(k) - Phi(-k) = Phi(k) - l(1 - Phi(k)r) = 2,Phi(k) - 1

Passo 3

Para k=1:
2,Phi(1) - 1 = 2 cdot 0,8413 - 1 = 0,6826 approx 0,683,
ou seja, 68,3% dos valores estão em mupmsigma.

Passo 4

Para k=2:
2,Phi(2) - 1 = 2 cdot 0,9772 - 1 = 0,9544 approx 0,954,
ou seja, 95,4% dos valores estão em mupm2sigma.

Passo 5

Para k=3:
2,Phi(3) - 1 = 2 cdot 0,99865 - 1 = 0,9973 approx 0,997,
ou seja, 99,7% dos valores estão em mupm3sigma.

Resposta

Nos intervalos mupmsigma, mupm2sigma e mupm3sigma temos, respectivamente,
68,3 %; 95,4 %; 99,7 %.

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