Exercício 35. Simplifique:
\sqrt{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}+\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}}

Passo 1

O enunciado pede simplificar a expressão
\sqrt{\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}+\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A única quantidade numérica presente é \sqrt{3}.
  • A raiz quadrada principal \sqrt{\cdot} retorna o valor não negativo do radicando.
  • Vou transformar a expressão dentro da raiz para uma forma mais simples antes de tirar a raiz.

Passo 2

Para facilitar as contas, defino uma notação curta. Seja
a=\sqrt{3}.
A expressão fica
\sqrt{\dfrac{a+1}{a-1}+\dfrac{a-1}{a+1}}.

Passo 3

Uso a identidade algébrica útil para somar frações invertidas:
\dfrac{u}{v}+\dfrac{v}{u}=\dfrac{u^2+v^2}{uv},
válida para u\neq0 e v\neq0. Aqui tomo u=a+1 e v=a-1. Assim
\dfrac{a+1}{a-1}+\dfrac{a-1}{a+1}=\dfrac{(a+1)^2+(a-1)^2}{(a+1)(a-1)}.

Passo 4

Agora calculo o numerador e o denominador separadamente. Primeiro as expansões:
(a+1)^2=a^2+2a+1, \qquad (a-1)^2=a^2-2a+1.
Somando,
(a+1)^2+(a-1)^2=(a^2+2a+1)+(a^2-2a+1)=2a^2+2.
Para o denominador,
(a+1)(a-1)=a^2-1.
Logo a soma das frações é
\dfrac{2a^2+2}{a^2-1}.

Passo 5

Factorizo e substituo a^2=(\sqrt{3})^2=3. Então
2a^2+2=2(a^2+1)=2(3+1)=8,
e
a^2-1=3-1=2.
Portanto o radicando fica
\dfrac{8}{2}=4.

Passo 6

Chegamos à forma
\sqrt{\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}+\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}}=\sqrt{4}.
Como a raiz quadrada principal é não negativa, o valor final é o valor positivo de \sqrt{4}.

Resposta

2

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