Exercício 36. Responda o que se pede:
Qual o valor de x na igualdade \sqrt[16]{2^{8}}=\sqrt[x]{2^{4}} ?

Passo 1

O enunciado fornece a igualdade
\sqrt[16]{2^{8}}=\sqrt[x]{2^{4}}
e pede: determinar o valor de x que torna essa igualdade verdadeira. Informações relevantes dadas:
  • A base nos radicais é 2.
  • Índices dos radicais são 16 (à esquerda) e x (à direita).
  • Os expoentes dentro dos radicais são 8 (à esquerda) e 4 (à direita).

Passo 2

Vamos lembrar uma fórmula básica que conecta radicais e potências: para a>0 e n\neq0,
\sqrt[n]{a}=a^{1/n}.
Explicando bem devagar: o símbolo \sqrt[n]{a} significa "a raiz enésima de a". Podemos reescrever isso como uma potência com expoente fracionário: o expoente 1/n indica justamente a operação de tirar a raiz enésima. Exemplo simples: \sqrt[3]{8}=8^{1/3}=2 porque 2^3=8.

Passo 3

Aplicando essa propriedade aos dois lados da igualdade, reescrevemos os radicais como potências:
\sqrt[16]{2^{8}}=(2^{8})^{1/16}=2^{8\cdot(1/16)}
e
\sqrt[x]{2^{4}}=(2^{4})^{1/x}=2^{4\cdot(1/x)}.
Agora simplificamos o produto de expoentes no lado esquerdo:
8\cdot\frac{1}{16}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2},
portanto o lado esquerdo fica 2^{1/2}. O lado direito fica 2^{4/x}. Assim a igualdade é
2^{1/2}=2^{4/x}.

Passo 4

Quando temos duas potências com a mesma base positiva e diferente de 1, a igualdade das potências implica a igualdade dos expoentes. Mais formalmente: se a>0, a\neq1 e a^{u}=a^{v}, então u=v. Aqui a base é 2 (que satisfaz 2>0 e 2\neq1), então podemos igualar os expoentes:
\frac{1}{2}=\frac{4}{x}.

Passo 5

Agora resolvemos a equação entre frações para x. Partimos de
\frac{1}{2}=\frac{4}{x}.
Multiplicando ambos os lados por x (lembrando que x\neq0):
\frac{x}{2}=4.
Multiplicando ambos os lados por 2:
x=8.
Verificações de domínio: x=8 é diferente de zero e positivo, então a operação de raiz \sqrt[x]{\cdot} faz sentido aqui.

Passo 6

Checagem rápida: calcular os dois lados com x=8.
\sqrt[16]{2^{8}}=2^{1/2}=\sqrt{2}, \qquad \sqrt[8]{2^{4}}=2^{4/8}=2^{1/2}=\sqrt{2}.
Os dois lados coincidem, portanto x=8 está correto.

Resposta

x=8

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