Exercício 36. Responda o que se pede:
Qual o valor de
na igualdade
?
Qual o valor de
Passo 1
O enunciado fornece a igualdade
e pede: determinar o valor de
que torna essa igualdade verdadeira. Informações relevantes dadas:
- A base nos radicais é
. - Índices dos radicais são
(à esquerda) e (à direita). - Os expoentes dentro dos radicais são
(à esquerda) e (à direita).
Passo 2
Vamos lembrar uma fórmula básica que conecta radicais e potências: para
e
,
Explicando bem devagar: o símbolo
significa "a raiz enésima de
". Podemos reescrever isso como uma potência com expoente fracionário: o expoente
indica justamente a operação de tirar a raiz enésima. Exemplo simples:
porque
.
Passo 3
Aplicando essa propriedade aos dois lados da igualdade, reescrevemos os radicais como potências:
e
Agora simplificamos o produto de expoentes no lado esquerdo:
portanto o lado esquerdo fica
. O lado direito fica
. Assim a igualdade é
Passo 4
Quando temos duas potências com a mesma base positiva e diferente de
, a igualdade das potências implica a igualdade dos expoentes. Mais formalmente: se
,
e
, então
. Aqui a base é
(que satisfaz
e
), então podemos igualar os expoentes:
Passo 5
Agora resolvemos a equação entre frações para
. Partimos de
Multiplicando ambos os lados por
(lembrando que
):
Multiplicando ambos os lados por
:
Verificações de domínio:
é diferente de zero e positivo, então a operação de raiz
faz sentido aqui.
Passo 6
Checagem rápida: calcular os dois lados com
.
Os dois lados coincidem, portanto
está correto.