Exercício 36. Calcule a derivada das seguintes funções :
f(x)=\frac{a^{3 x}+a^{-3 x}}{a^{3 x}-a^{-3 x}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{a^{3x}+a^{-3x}}{a^{3x}-a^{-3x}},
onde a>0 e a\neq1.
Para resolver vamos usar:
  1. A regra da derivada de a^{u(x)}, que é
\frac{d}{dx}a^{u(x)}=a^{u(x)}\,u'(x)\,\ln(a).
  1. A regra do quociente: se f(x)=\frac{N(x)}{D(x)}, então
f'(x)=\frac{N'(x)\,D(x)-N(x)\,D'(x)}{[D(x)]^2}.

Passo 2

Definimos o numerador e denominador:
N(x)=a^{3x}+a^{-3x}, \quad D(x)=a^{3x}-a^{-3x}.
Então pelo quociente
f'(x) =\frac{N'(x)\,D(x)-N(x)\,D'(x)}{[D(x)]^2}.

Passo 3

Calculamos N'(x) e D'(x) usando a regra de a^{u(x)}:
N'(x) =3\ln(a)\,a^{3x}-(-3)\ln(a)\,a^{-3x} =3\ln(a)\bigl(a^{3x}-a^{-3x}\bigr),
D'(x) =3\ln(a)\,a^{3x}-(-3)\ln(a)\,(-a^{-3x}) =3\ln(a)\bigl(a^{3x}+a^{-3x}\bigr).

Passo 4

Substituindo em
N'(x)D(x)-N(x)D'(x) =3\ln(a)\bigl(a^{3x}-a^{-3x}\bigr)\bigl(a^{3x}-a^{-3x}\bigr) -3\ln(a)\bigl(a^{3x}+a^{-3x}\bigr)\bigl(a^{3x}+a^{-3x}\bigr).
Isso é
3\ln(a)\Bigl[(a^{3x}-a^{-3x})^2-(a^{3x}+a^{-3x})^2\Bigr].
Usando
(A-B)^2-(A+B)^2=-4AB \quad\text{com }A=a^{3x},\,B=a^{-3x},
vem
N'(x)D(x)-N(x)D'(x) =3\ln(a)\bigl[-4\,a^{3x}a^{-3x}\bigr] = -12\ln(a).

Passo 5

Logo
f'(x) =\frac{-12\ln(a)}{\bigl(a^{3x}-a^{-3x}\bigr)^2}.

Resposta

f'(x)=-\frac{12\ln(a)}{\bigl(a^{3x}-a^{-3x}\bigr)^2}.

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