Exercício 36. Calcule a derivada das seguintes funções :
g(x)=\log _{2}\left(x^{5}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
g(x)=\log_{2}\bigl(x^{5}\bigr).
Aqui vamos usar dois conceitos: a fórmula de mudança de base para logaritmos
\log_{a}(u)=\frac{\ln(u)}{\ln(a)},
e a regra da cadeia para derivar \ln(x^{5}).

Passo 2

Aplicando a mudança de base com a=2 e u=x^{5}, escrevemos
g(x)=\frac{\ln\bigl(x^{5}\bigr)}{\ln(2)}.

Passo 3

Agora derivamos usando que \ln(2) é constante e que
\frac{d}{dx}\bigl[\ln(x^{5})\bigr] = \frac{1}{x^{5}}\cdot\frac{d}{dx}(x^{5}) = \frac{1}{x^{5}}\cdot5x^{4} = \frac{5}{x}.
Logo, pela regra da constante multiplicativa,
g'(x) = \frac{1}{\ln(2)}\cdot\frac{5}{x} = \frac{5}{x\,\ln(2)}.

Resposta

g'(x)=\frac{5}{x\,\ln(2)}.

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