Exercício 36. Calcule a derivada das seguintes funções :
f(x)=\ln \frac{x^{2}+1}{x^{2}+3}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\ln\frac{x^{2}+1}{x^{2}+3}.
O conteúdo principal aqui é a derivada de uma função logarítmica e a simplificação usando a propriedade
\ln\frac{u}{v}=\ln u-\ln v, além da regra da cadeia para derivar cada termo interno.

Passo 2

Aplicando a propriedade do logaritmo, escrevemos
f(x)=\ln(x^{2}+1)-\ln(x^{2}+3).

Passo 3

Derivamos cada parte usando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\ln(x^{2}+1)=\frac{1}{x^{2}+1}\cdot 2x \quad\text{e}\quad \frac{d}{dx}\ln(x^{2}+3)=\frac{1}{x^{2}+3}\cdot 2x.
Logo,
f'(x)=\frac{2x}{x^{2}+1}-\frac{2x}{x^{2}+3}.

Passo 4

Para simplificar, fatoramos 2x e juntamos em um único quociente:
f'(x) =2x\Bigl(\frac{1}{x^{2}+1}-\frac{1}{x^{2}+3}\Bigr) =2x\cdot\frac{(x^{2}+3)-(x^{2}+1)}{(x^{2}+1)(x^{2}+3)} =2x\cdot\frac{2}{(x^{2}+1)(x^{2}+3)} =\frac{4x}{(x^{2}+1)(x^{2}+3)}.

Resposta

f'(x)=\frac{4x}{(x^{2}+1)(x^{2}+3)}.

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