Exercício 36. Calcule a_{2} em termos de a_{0}.

Passo 1

O enunciado que você me passou é curto: “Calcule a_{2} em termos de a_{0}.”
O que está explicitamente dado:
  • A incógnita pedida é o coeficiente \,a_{2}\,.
  • A expressão pedida deve ser em termos de \,a_{0}\,.
O que NÃO foi fornecido (informações essenciais que estão faltando):
  • Não há nenhuma relação que vincule os coeficientes a_n (por exemplo, uma relação de recorrência).
  • Não foi dada nenhuma equação diferencial, identidade de séries, equação funcional ou condição que determine os a_n.
  • Não há condições iniciais adicionais (por exemplo, valor de a_1 ou condições que relacionem a_1 a a_0).

Passo 2

Por que isso importa: quando trabalhamos com séries de potências
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,
os coeficientes a_n não são determinados apenas pelo fato de escrever a série — é preciso uma equação que os relacione (por exemplo, uma equação diferencial satisfeita por y, ou uma identidade que determine a série). Sem essa relação, os coeficientes são livres: por exemplo, poderia-se escolher a_2 arbitrariamente independentemente de a_0.
Portanto, com os dados atuais é impossível obter um valor único de a_{2} apenas em função de a_{0}.

Passo 3

O que seria necessário para calcular a_2 em termos de a_0:
  • Uma recorrência do tipo \,a_{n+2}=F(n,a_n,a_{n+1}) ou mais simples \,a_{n+2}=C(n)\,a_n etc. Com uma relação assim, basta tomar n=0 e obter a_2 em termos de a_0 (e possivelmente a_1).
  • Ou uma condição que fixe a_1 em função de a_0. Se a recorrência envolver a_1 então é preciso saber a_1 para eliminá-lo e escrever a_2 só com a_0.
Se a recorrência for, por exemplo,
a_{n+2}=c_n\,a_n,
então tomando n=0 vem imediatamente
a_2=c_0\,a_0.
Se a recorrência for
a_{n+2}=d_n\,a_{n+1}+e_n\,a_n,
então para n=0
a_2=d_0\,a_1+e_0\,a_0,
e só é possível escrevê-la somente em função de a_0 se a_1 for conhecido ou for proporcional a a_0.

Passo 4

Para aprender o procedimento (passo a passo) que normalmente se usa na prova, vou mostrar um exemplo concreto e didático: suponha que os coeficientes surgiram da resolução por série da equação diferencial
y''+y=0,
com solução procurada na forma \,y(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n. Vou demonstrar como obter a_2 em termos de a_0 nesse caso.
  1. Escrever as derivadas em série:
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,
y''(x)=\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)\,a_{n+2}\,x^n.
  1. Substituir na equação y''+y=0. Como y já está como \sum_{n=0}^\infty a_n x^n e y'' como acima, obtemos a série em potências de x^n:
\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)\,a_{n+2}\,x^n + \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = 0.
  1. Igualar coeficientes de x^n para todo n. Assim para cada n vale
(n+2)(n+1)\,a_{n+2}+a_n=0.
  1. Isolar a_{n+2}:
a_{n+2}=-\dfrac{a_n}{(n+2)(n+1)}.
  1. Tomar n=0 para obter a_2 em termos de a_0:
a_2=-\dfrac{a_0}{2\cdot 1}=-\dfrac{a_0}{2}.
Observação didática: aqui não aparece a_1 na expressão de a_2 porque a recorrência conecta a_{n+2} diretamente com a_n (coeficiente par separado do ímpar). Em outros problemas pode aparecer a_1 e então será necessário ter informação sobre a_1.

Passo 5

Resumo prático para a prova (receitinha rápida):
  • Identifique a equação que gera a série (equação diferencial, identidade, etc.).
  • Expresse todas as derivadas como séries com o mesmo índice de potência x^n.
  • Substitua e junte séries; iguale coeficientes de x^n para obter a recorrência entre os a_n.
  • Tome n=0 na recorrência para achar a_2 em termos de a_0 (e possivelmente a_1). Se a recorrência envolver a_1, você precisa de uma condição extra para eliminar a_1.

Resposta

Impossível determinar a_{2} apenas a partir de a_{0}: falta a relação que liga os coeficientes (por exemplo, uma equação diferencial ou uma recorrência).
(Exemplo condicional: se os a_n vierem de y''+y=0 com y=\sum a_n x^n, então a_{2}=-\dfrac{a_{0}}{2}.)

Exercícios relacionados