Exercício 36. Calcule
em termos de
.
Passo 1
O enunciado que você me passou é curto: “Calcule
em termos de
.”
O que está explicitamente dado:
O que está explicitamente dado:
- A incógnita pedida é o coeficiente
. - A expressão pedida deve ser em termos de
.
O que NÃO foi fornecido (informações essenciais que estão faltando):
- Não há nenhuma relação que vincule os coeficientes
(por exemplo, uma relação de recorrência). - Não foi dada nenhuma equação diferencial, identidade de séries, equação funcional ou condição que determine os
. - Não há condições iniciais adicionais (por exemplo, valor de
ou condições que relacionem a ).
Passo 2
Por que isso importa: quando trabalhamos com séries de potências
os coeficientes
não são determinados apenas pelo fato de escrever a série — é preciso uma equação que os relacione (por exemplo, uma equação diferencial satisfeita por
, ou uma identidade que determine a série). Sem essa relação, os coeficientes são livres: por exemplo, poderia-se escolher
arbitrariamente independentemente de
.
Portanto, com os dados atuais é impossível obter um valor único de
apenas em função de
.
Passo 3
O que seria necessário para calcular
em termos de
:
- Uma recorrência do tipo
ou mais simples etc. Com uma relação assim, basta tomar e obter em termos de (e possivelmente ). - Ou uma condição que fixe
em função de . Se a recorrência envolver então é preciso saber para eliminá-lo e escrever só com .
Se a recorrência for, por exemplo,
então tomando
vem imediatamente
Se a recorrência for
então para
e só é possível escrevê-la somente em função de
se
for conhecido ou for proporcional a
.
Passo 4
Para aprender o procedimento (passo a passo) que normalmente se usa na prova, vou mostrar um exemplo concreto e didático: suponha que os coeficientes surgiram da resolução por série da equação diferencial
com solução procurada na forma
. Vou demonstrar como obter
em termos de
nesse caso.
- Escrever as derivadas em série:
- Substituir na equação
. Como já está como e como acima, obtemos a série em potências de :
- Igualar coeficientes de
para todo . Assim para cada vale
- Isolar
:
- Tomar
para obter em termos de :
Observação didática: aqui não aparece
na expressão de
porque a recorrência conecta
diretamente com
(coeficiente par separado do ímpar). Em outros problemas pode aparecer
e então será necessário ter informação sobre
.
Passo 5
Resumo prático para a prova (receitinha rápida):
- Identifique a equação que gera a série (equação diferencial, identidade, etc.).
- Expresse todas as derivadas como séries com o mesmo índice de potência
. - Substitua e junte séries; iguale coeficientes de
para obter a recorrência entre os . - Tome
na recorrência para achar em termos de (e possivelmente ). Se a recorrência envolver , você precisa de uma condição extra para eliminar .
Resposta
Impossível determinar
apenas a partir de
: falta a relação que liga os coeficientes (por exemplo, uma equação diferencial ou uma recorrência).
(Exemplo condicional: se os
vierem de
com
, então
.)