Exercicio 36. Calcule \vec{v} \times \vec{w} e \vec{w} \times \vec{v} nos seguintes casos:
\vec{v}=(6,-2,-4), \vec{w}=(-1,-2,1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto vetorial entre os vetores \vec{v} = (6,-2,-4) e \vec{w} = (-1,-2,1).
O conteúdo envolvido é o produto vetorial em \mathbb{R}^3, que gera um vetor perpendicular a ambos.

Passo 2

Para dois vetores \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) e \vec{w}=(w_1,w_2,w_3), definimos
\vec{v}\times\vec{w} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\ v_1 & v_2 & v_3\\\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix} = \bigl(v_2w_3 - v_3w_2,\;v_3w_1 - v_1w_3,\;v_1w_2 - v_2w_1\bigr).
Além disso, vale a propriedade de anticomutatividade
\vec{w}\times\vec{v} = -\,(\vec{v}\times\vec{w}).

Passo 3

Aplicando a fórmula para \vec{v}\times\vec{w}:
v_2w_3 - v_3w_2 = (-2)\cdot1 - (-4)\cdot(-2) = -2 - 8 = -10,
v_3w_1 - v_1w_3 = (-4)\cdot(-1) - 6\cdot1 = 4 - 6 = -2,
v_1w_2 - v_2w_1 = 6\cdot(-2) - (-2)\cdot(-1) = -12 - 2 = -14.
Logo,
\vec{v}\times\vec{w} = (-10,\,-2,\,-14).

Passo 4

Usando anticomutatividade ou aplicando diretamente a definição, obtemos
\vec{w}\times\vec{v} = -(\vec{v}\times\vec{w}) = (10,\,2,\,14).

Resposta

\displaystyle \vec{v}\times\vec{w} = (-10,\,-2,\,-14) \displaystyle \vec{w}\times\vec{v} = (10,\,2,\,14)

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