Exercicio 35. Mostre que
a)
.
b)
.
a)
b)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas coisas sobre o produto vetorial de
e
:
- Que
- Que a igualdade acontece se, e somente se,
.
O conteúdo principal é a interpretação geométrica do produto vetorial, que nos diz queé a área do paralelogramo construído sobre e .
Passo 2
Seja
o ângulo entre
e
, com
.
Geometricamente, o comprimento de é base vezes altura do paralelogramo: a base vale
e a altura é
. Logo, temos a fórmula clássica
Geometricamente, o comprimento de
Passo 3
Como para qualquer ângulo
vale
substituindo na expressão anterior obtemos
Isso prova a parte (a).
Passo 4
Para caracterizar o caso de igualdade, note que
se, e somente se,
Isso ocorre exatamente quando
(ou
), ou seja, quando
é perpendicular a
. Assim, a igualdade na parte (a) é equivalente a
, que é a parte (b).
Resposta
(a)
.
(b) A igualdade vale se, e somente se,
.
(b) A igualdade