Exercicio 35. Mostre que
a) \|\vec{v} \times \vec{w}\| \leq\|\vec{v}\|\|\vec{w}\|.
b) \|\vec{v} \times \vec{w}\|=\|\vec{v}\|\|\vec{w}\| \Leftrightarrow \vec{v} \perp \vec{w}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas coisas sobre o produto vetorial de \vec v e \vec w:
  1. Que
\|\vec v\times \vec w\|\le \|\vec v\|\;\|\vec w\|.
  1. Que a igualdade acontece se, e somente se, \vec v\perp \vec w.
    O conteúdo principal é a interpretação geométrica do produto vetorial, que nos diz que \|\vec v\times \vec w\| é a área do paralelogramo construído sobre \vec v e \vec w.

Passo 2

Seja \theta o ângulo entre \vec v e \vec w, com 0\le\theta\le\pi.
Geometricamente, o comprimento de \vec v\times \vec w é base vezes altura do paralelogramo: a base vale \|\vec v\| e a altura é \|\vec w\|\sin\theta. Logo, temos a fórmula clássica
\|\vec v\times \vec w\| = \|\vec v\|\;\|\vec w\|\;|\sin\theta|.

Passo 3

Como para qualquer ângulo \theta vale
|\sin\theta|\le 1,
substituindo na expressão anterior obtemos
\|\vec v\times \vec w\| = \|\vec v\|\;\|\vec w\|\;|\sin\theta|\le \|\vec v\|\;\|\vec w\|.
Isso prova a parte (a).

Passo 4

Para caracterizar o caso de igualdade, note que
\|\vec v\times \vec w\| = \|\vec v\|\;\|\vec w\|
se, e somente se,
|\sin\theta| = 1.
Isso ocorre exatamente quando \theta = \tfrac{\pi}{2} (ou 90^\circ), ou seja, quando \vec v é perpendicular a \vec w. Assim, a igualdade na parte (a) é equivalente a \vec v\perp \vec w, que é a parte (b).

Resposta

(a) \displaystyle \|\vec v\times \vec w\|\le \|\vec v\|\;\|\vec w\|.
(b) A igualdade \|\vec v\times \vec w\|= \|\vec v\|\;\|\vec w\| vale se, e somente se, \vec v\perp \vec w.

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