Exercício 39: Seja o número de falhas de equipamento indispensável na linha de produção de carros e o número vezes em que o técnico responsável pela manutenção é chamado de emergência. A distribuição de probabilidade conjunta é:
0,05 0,05 0,10
0,05 0,10 0,35
0,00 0,20 0,10
a. Encontre a distribuição de probabilidade marginal de ;
b. Encontre a distribuição de probabilidade marginal de ;
c. Calcule e ;
d. Calcule Var e Var ;
e. Calcule ;
f. Calcule ;
g. Calcule ;
h. Calcule .

Passo 1

O enunciado define duas variáveis discretas: X é o número de falhas e Y é o número de chamadas de emergência, com distribuição conjunta dada pela tabela
c|ccc Ybackslash X & 1 & 2 & 3hline 1 & 0,05 & 0,05 & 0,10 2 & 0,05 & 0,10 & 0,35 3 & 0,00 & 0,20 & 0,10
Vamos precisar somar linhas e colunas para obter marginais, usar definições de esperança, variância e covariância, e definição de probabilidade condicional e esperança condicional.

Passo 2

Distribuição marginal de X: somamos a probabilidade conjunta sobre todos os valores de Y.
P(X=1)=0,05+0,05+0,00=0,10, P(X=2)=0,05+0,10+0,20=0,35, P(X=3)=0,10+0,35+0,10=0,55

Passo 3

Distribuição marginal de Y: somamos sobre todos os valores de X.
P(Y=1)=0,05+0,05+0,10=0,20, P(Y=2)=0,05+0,10+0,35=0,50, P(Y=3)=0,00+0,20+0,10=0,30

Passo 4

Cálculo de esperanças:
E[X]=sumx=1^3x,P(X=x)=1cdot0,10+2cdot0,35+3cdot0,55=2,45,
E[Y]=sumy=1^3y,P(Y=y)=1cdot0,20+2cdot0,50+3cdot0,30=2,10,
e
E[X+Y]=E[X]+E[Y]=2,45+2,10=4,55

Passo 5

Cálculo de variâncias e covariância:
  1. E[X^2]=1^2cdot0,10+2^2cdot0,35+3^2cdot0,55=6,45,
    então Var[X]=E[X^2]-(E[X])^2=6,45-2,45^2=0,4475.
  2. E[Y^2]=1^2cdot0,20+2^2cdot0,50+3^2cdot0,30=4,90,
    então Var[Y]=4,90-2,10^2=0,49.
  3. E[XY]=sumx,yx,y,P(x,y)=5,15,
    logo Cov[X,Y]=E[XY]-E[X]E[Y]=5,15-2,45cdot2,10=0,005.
  4. Var[X+Y]=Var[X]+Var[Y]+2,Cov[X,Y]=0,4475+0,49+2cdot0,005=0,9475

Passo 6

Probabilidades condicionais:
P(Y=3mid X=2)=P(X=2,Y=3)P(X=2)=0,200,35approx0,5714,
P(Y=3mid X=3)=P(X=3,Y=3)P(X=3)=0,100,55approx0,1818

Passo 7

Esperança condicional E[Ymid X=2]:
E[Ymid X=2] =sumy=1^3y,P(Y=ymid X=2) =1cdot0,05+2cdot0,10+3cdot0,200,35 =0,850,35approx2,4286

Passo 8

Lei da iterada:
El[E(Ymid X)r]=E[Y]=2,10

Resposta

a. P(X=1)=0,10,;P(X=2)=0,35,;P(X=3)=0,55
b. P(Y=1)=0,20,;P(Y=2)=0,50,;P(Y=3)=0,30
c. E[X]=2,45,;E[Y]=2,10,;E[X+Y]=4,55
d. Var[X]=0,4475,;Var[Y]=0,49,;Cov[X,Y]=0,005,;Var[X+Y]=0,9475
e. P(Y=3mid X=2)approx0,5714
f. P(Y=3mid X=3)approx0,1818
g. E[Ymid X=2]approx2,4286
h. El[E(Ymid X)r]=2,10

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