Exercício 36 Justifique as afirmações a seguir quando forem verdadeiras ou apresente um contraexemplo quando forem falsas.
Dada qualquer matriz A, vale \left(A^{T}\right)^{T}=A.

Passo 1

O enunciado nos dá uma matriz qualquer A e pergunta se a igualdade
\left(A^{T}\right)^{T}=A
vale para toda matriz A. Ou seja: dado qualquer A, a transposta da transposta de A é igual a A? Não há outras hipóteses no enunciado além de A ser uma matriz arbitrária.

Passo 2

Vamos lembrar rigorosamente o que é a transposta de uma matriz.
Seja A=(a_{ij}) uma matriz de ordem m\times n. Isso significa que A tem m linhas e n colunas, e a_{ij} é o elemento na linha i e coluna j.
A transposta de A, denotada por A^{T}, é a matriz obtida trocando linhas por colunas. Formalmente, A^{T}=(b_{ij}) é a matriz de ordem n\times m cuja entrada b_{ij} é definida por
b_{ij}=a_{ji}
para todo i e j nos índices adequados. Ou seja, o elemento na linha i e coluna j de A^{T} é o elemento que estava na linha j e coluna i de A.

Passo 3

Agora consideremos a transposta da transposta: C=\left(A^{T}\right)^{T}. Vamos escrever as entradas dessa matriz usando as definições. Seja c_{ij} o elemento de C na linha i e coluna j. Pela definição de transposta aplicada a A^{T}, temos
c_{ij}=(A^{T})_{ji}.
Mas, pelo que definimos em A^{T}=(b_{ij}), sabemos que (A^{T})_{ji}=b_{ji} e por sua vez b_{ji}=a_{ij} (porque b_{pq}=a_{qp} para quaisquer índices p,q). Portanto
c_{ij}=(A^{T})_{ji}=b_{ji}=a_{ij}.

Passo 4

Concluímos que cada entrada c_{ij} de C=\left(A^{T}\right)^{T} é igual à entrada a_{ij} de A. Além disso, as dimensões coincidem: A é m\times n, A^{T} é n\times m e C=(A^{T})^{T} volta a ser m\times n. Como duas matrizes são iguais exatamente quando todas as entradas correspondentes são iguais e as dimensões coincidem, segue que
\left(A^{T}\right)^{T}=A.
Isso vale para qualquer matriz A, seja ela retangular, quadrada, nula, etc.

Passo 5

Para fixar a ideia, vejamos um exemplo numérico simples. Tome
A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\[4pt]4 & 5 & 6\end{pmatrix},
que é 2\times 3. Então
A^{T}=\begin{pmatrix}1 & 4\\[4pt]2 & 5\\[4pt]3 & 6\end{pmatrix},
que é 3\times 2. Agora transpondo novamente:
\left(A^{T}\right)^{T}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\[4pt]4 & 5 & 6\end{pmatrix}=A.
Veja que cada troca de índices foi revertida pela segunda transposição.]

Passo 6

Intuitivamente: a transposição troca os índices i e j. Fazer isso duas vezes troca i e j e depois troca de novo, retornando à posição original. Por isso, para qualquer matriz A, a transposta da transposta é sempre A.

Resposta

Verdadeira: \left(A^{T}\right)^{T}=A

Exercícios relacionados