Exercício 36 Justifique as afirmações a seguir quando forem verdadeiras ou apresente um contraexemplo quando forem falsas.
Se A e B forem matrizes quadradas de mesma ordem, então
.
Se A e B forem matrizes quadradas de mesma ordem, então
Passo 1
O enunciado nos dá duas matrizes quadradas
e
da mesma ordem e faz a afirmação
A tarefa é: justificar essa afirmação quando verdadeira ou apresentar um contraexemplo quando for falsa. Não há outras informações adicionais no enunciado.
Passo 2
Relembrando o que é traço e algumas propriedades básicas (mini-aula rápida e necessária).
- Definição: para uma matriz quadrada
de ordem ,
ou seja, é a soma dos elementos da diagonal principal.
- Propriedade importante (que será útil saber): para matrizes
e compatíveis para multiplicação, vale
Isso não diz que
é igual ao produto
; apenas permite trocar a ordem dentro do traço quando o produto faz sentido.
Passo 3
Estratégia: vamos testar a afirmação com um caso simples e explícito (contraexemplo). Se encontrarmos matrizes
e
tais que
, a afirmação é falsa.
Passo 4
Escolha de contraexemplo (matrizes
bem simples).
Tomemos
Tomemos
Aqui
é a identidade
e
é a matriz diagonal com entradas
e
.]
Passo 5
Calcular
.
Primeiro , logo
Primeiro
Passo 6
Calcular
.
logo
Passo 7
Comparando os resultados:
portanto
. Assim a afirmação do enunciado é falsa em geral.
Passo 8
Comentário final didático e motivador: a falha vem do fato de que o traço é uma soma linear das entradas da diagonal, e não uma função multiplicativa que transforme produtos de matrizes em produtos de números. Só em casos particulares (por exemplo quando
, ou se
, ou
, ou outras coincidências) a igualdade pode ocorrer; mas não vale para todas as matrizes.
Resposta
Falsa. Contraexemplo:
pois
e
.]