Exercício 36 Justifique as afirmações a seguir quando forem verdadeiras ou apresente um contraexemplo quando forem falsas.
Se A e B forem matrizes quadradas de mesma ordem, então \operatorname{tr}(A B)=\operatorname{tr}(A) \operatorname{tr}(B).

Passo 1

O enunciado nos dá duas matrizes quadradas A e B da mesma ordem e faz a afirmação
\operatorname{tr}(A B)=\operatorname{tr}(A)\operatorname{tr}(B).
A tarefa é: justificar essa afirmação quando verdadeira ou apresentar um contraexemplo quando for falsa. Não há outras informações adicionais no enunciado.

Passo 2

Relembrando o que é traço e algumas propriedades básicas (mini-aula rápida e necessária).
  • Definição: para uma matriz quadrada M=(m_{ij}) de ordem n,
\operatorname{tr}(M)=\sum_{i=1}^{n} m_{ii},
ou seja, é a soma dos elementos da diagonal principal.
  • Propriedade importante (que será útil saber): para matrizes X e Y compatíveis para multiplicação, vale
\operatorname{tr}(XY)=\operatorname{tr}(YX).
Isso não diz que \operatorname{tr}(XY) é igual ao produto \operatorname{tr}(X)\operatorname{tr}(Y); apenas permite trocar a ordem dentro do traço quando o produto faz sentido.

Passo 3

Estratégia: vamos testar a afirmação com um caso simples e explícito (contraexemplo). Se encontrarmos matrizes A e B tais que \operatorname{tr}(AB)\neq\operatorname{tr}(A)\operatorname{tr}(B), a afirmação é falsa.

Passo 4

Escolha de contraexemplo (matrizes 2\times2 bem simples).
Tomemos
A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}=I_2, \qquad B=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Aqui A é a identidade 2\times2 e B é a matriz diagonal com entradas 1 e 0.]

Passo 5

Calcular \operatorname{tr}(AB).
Primeiro AB=I_2\cdot B=B, logo
\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(B)=1+0=1.

Passo 6

Calcular \operatorname{tr}(A)\operatorname{tr}(B).
\operatorname{tr}(A)=1+1=2,\qquad \operatorname{tr}(B)=1+0=1,
logo
\operatorname{tr}(A)\operatorname{tr}(B)=2\cdot 1=2.

Passo 7

Comparando os resultados:
\operatorname{tr}(AB)=1 \quad\text{e}\quad \operatorname{tr}(A)\operatorname{tr}(B)=2,
portanto \operatorname{tr}(AB)\neq\operatorname{tr}(A)\operatorname{tr}(B). Assim a afirmação do enunciado é falsa em geral.

Passo 8

Comentário final didático e motivador: a falha vem do fato de que o traço é uma soma linear das entradas da diagonal, e não uma função multiplicativa que transforme produtos de matrizes em produtos de números. Só em casos particulares (por exemplo quando n=1, ou se \operatorname{tr}(A)=1, ou \operatorname{tr}(B)=0, ou outras coincidências) a igualdade pode ocorrer; mas não vale para todas as matrizes.

Resposta

Falsa. Contraexemplo: A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},
pois \operatorname{tr}(AB)=1 e \operatorname{tr}(A)\operatorname{tr}(B)=2.]

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