Exercício 36 Justifique as afirmações a seguir quando forem verdadeiras ou apresente um contraexemplo quando forem falsas.
O produto de duas matrizes elementares é uma matriz elementar.
O produto de duas matrizes elementares é uma matriz elementar.
Passo 1
O enunciado pede que se justifique a afirmação “O produto de duas matrizes elementares é uma matriz elementar”, quando for verdadeira, ou que se apresente um contraexemplo quando for falsa.
Informações relevantes (definição usada abaixo):
Informações relevantes (definição usada abaixo):
- Uma matriz elementar é uma matriz obtida a partir da matriz identidade aplicando-se exatamente uma operação elementar sobre linhas (ou colunas). As operações elementares de linhas são: (i) trocar duas linhas; (ii) multiplicar uma linha por um escalar não nulo; (iii) adicionar a uma linha um múltiplo escalar de outra linha.
- O produto de matrizes corresponde à composição das operações de linha quando as matrizes elementares são aplicadas à esquerda (isto é, se
é elementar, então é a matriz depois de aplicar a operação correspondente a ).
Passo 2
Explicação didática do que significa “matriz elementar” e como testar se uma dada matriz é elementar (vou mastigar devagar).
- Começo com a matriz identidade de ordem
, . Uma matriz elementar é simplesmente o resultado de fazer UMA única operação elementar de linhas em . Logo, para ordem (caso mais simples), todas as matrizes elementares são de três tipos: - Permutação de linhas (trocar linha 1 e linha 2):
- Escalonamento de uma linha (multiplicar a linha
por ): - Soma de um múltiplo de uma linha em outra (adicionar
vezes linha à linha ):
- Permutação de linhas (trocar linha 1 e linha 2):
- Observação importante: a composição (fazer uma operação e depois outra) corresponde a multiplicar as matrizes elementares. Se
faz a operação 1 e faz a operação 2, então corresponde a aplicar primeiro a operação 1 e depois a 2. Porém, duas operações sucessivas nem sempre podem ser substituídas por uma única operação elementar — às vezes são essencialmente duas etapas distintas.]
Passo 3
Plano para decidir a veracidade da afirmação: procurar um contraexemplo simples em ordem
. Se eu encontrar duas matrizes elementares
e
tais que o produto
não pertence à lista de formas possíveis de matrizes elementares em ordem
, então a afirmação é falsa.
Passo 4
Escolha de duas matrizes elementares fáceis de manipular (adição de linha em linha):
- Tome
que corresponde à operação “linha 1 linha 1 linha 2” aplicada à esquerda (ou seja, adiciona a linha 2 à linha 1 de ). - Tome
que corresponde à operação “linha 2 linha 2 linha 1”.
Ambas são matrizes elementares (cada uma obtida de
por UMA operação).]
Passo 5
Calcular o produto
detalhadamente (fazendo conta linha por coluna):
Multiplicando:
- Entrada
: . - Entrada
: . - Entrada
: . - Entrada
: .
Logo
Passo 6
Verificar se
é uma matriz elementar de ordem
. Lembre-se das formas possíveis de matrizes elementares em
(repetindo):
- permutação:
; - escala de uma linha:
ou ; - adição de múltiplo:
ou .
Compare cada tipo com
:
- Não é permutação (os padrões de zeros/uns são diferentes).
- Não é escala de uma linha porque, por exemplo, para escalar a linha 1 por
a matriz seria e ali o elemento seria , mas na nossa é . - Não é do tipo “adição de múltiplo” porque nessas matrizes o elemento
ou vale exatamente . Na nossa matriz e também e não se encaixam no padrão simples ou .
Portanto
NÃO é uma matriz elementar.]
Passo 7
Conclusão lógica: encontrei duas matrizes elementares
e
tais que o produto
não é elementar. Isso prova que a afirmação geral “o produto de duas matrizes elementares é uma matriz elementar” é falsa. (Observação final: em casos particulares o produto de duas elementares pode ser elementar — por exemplo, multiplicar duas matrizes que ambas escalem a mesma linha resulta numa escala única — mas não é verdade em geral.)
Resposta
Falsa. Contraexemplo:
, que não é matriz elementar.]