Exercício 36 Justifique as afirmações a seguir quando forem verdadeiras ou apresente um contraexemplo quando forem falsas.
O produto de duas matrizes elementares é uma matriz elementar.

Passo 1

O enunciado pede que se justifique a afirmação “O produto de duas matrizes elementares é uma matriz elementar”, quando for verdadeira, ou que se apresente um contraexemplo quando for falsa.
Informações relevantes (definição usada abaixo):
  • Uma matriz elementar é uma matriz obtida a partir da matriz identidade aplicando-se exatamente uma operação elementar sobre linhas (ou colunas). As operações elementares de linhas são: (i) trocar duas linhas; (ii) multiplicar uma linha por um escalar não nulo; (iii) adicionar a uma linha um múltiplo escalar de outra linha.
  • O produto de matrizes corresponde à composição das operações de linha quando as matrizes elementares são aplicadas à esquerda (isto é, se E é elementar, então E A é a matriz A depois de aplicar a operação correspondente a E).

Passo 2

Explicação didática do que significa “matriz elementar” e como testar se uma dada matriz é elementar (vou mastigar devagar).
  • Começo com a matriz identidade de ordem n, \,I_n. Uma matriz elementar é simplesmente o resultado de fazer UMA única operação elementar de linhas em \,I_n. Logo, para ordem 2 (caso mais simples), todas as matrizes elementares são de três tipos:
    1. Permutação de linhas (trocar linha 1 e linha 2): S=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}.
    2. Escalonamento de uma linha (multiplicar a linha i por \lambda\neq 0): \begin{pmatrix}\lambda & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}\quad\text{ou}\quad \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & \lambda\end{pmatrix}.
    3. Soma de um múltiplo de uma linha em outra (adicionar k vezes linha j à linha i): \begin{pmatrix}1 & k\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}\quad\text{ou}\quad \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]k & 1\end{pmatrix}.
  • Observação importante: a composição (fazer uma operação e depois outra) corresponde a multiplicar as matrizes elementares. Se E_1 faz a operação 1 e E_2 faz a operação 2, então E_2E_1 corresponde a aplicar primeiro a operação 1 e depois a 2. Porém, duas operações sucessivas nem sempre podem ser substituídas por uma única operação elementar — às vezes são essencialmente duas etapas distintas.]

Passo 3

Plano para decidir a veracidade da afirmação: procurar um contraexemplo simples em ordem 2. Se eu encontrar duas matrizes elementares E e F tais que o produto EF não pertence à lista de formas possíveis de matrizes elementares em ordem 2, então a afirmação é falsa.

Passo 4

Escolha de duas matrizes elementares fáceis de manipular (adição de linha em linha):
  • Tome E=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},que corresponde à operação “linha 1 \leftarrow linha 1 + linha 2” aplicada à esquerda (ou seja, E A adiciona a linha 2 à linha 1 de A).
  • Tome F=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix},que corresponde à operação “linha 2 \leftarrow linha 2 + linha 1”.
Ambas são matrizes elementares (cada uma obtida de I_2 por UMA operação).]

Passo 5

Calcular o produto E F detalhadamente (fazendo conta linha por coluna):
E F = \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
Multiplicando:
  • Entrada (1,1): 1\cdot 1 + 1\cdot 1 = 2.
  • Entrada (1,2): 1\cdot 0 + 1\cdot 1 = 1.
  • Entrada (2,1): 0\cdot 1 + 1\cdot 1 = 1.
  • Entrada (2,2): 0\cdot 0 + 1\cdot 1 = 1.
Logo
E F = \begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Verificar se \begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} é uma matriz elementar de ordem 2. Lembre-se das formas possíveis de matrizes elementares em 2\times2 (repetindo):
  • permutação: \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix};
  • escala de uma linha: \begin{pmatrix}\lambda & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} ou \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & \lambda\end{pmatrix};
  • adição de múltiplo: \begin{pmatrix}1 & k\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} ou \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]k & 1\end{pmatrix}.
Compare cada tipo com \begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}:
  • Não é permutação (os padrões de zeros/uns são diferentes).
  • Não é escala de uma linha porque, por exemplo, para escalar a linha 1 por 2 a matriz seria \begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} e ali o elemento (1,2) seria 0, mas na nossa é 1.
  • Não é do tipo “adição de múltiplo” porque nessas matrizes o elemento (1,1) ou (2,2) vale exatamente 1. Na nossa matriz (1,1)=2\neq 1 e também (2,1)=1 e (1,2)=1 não se encaixam no padrão simples \begin{pmatrix}1 & k\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} ou \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]k & 1\end{pmatrix}.
Portanto \begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} NÃO é uma matriz elementar.]

Passo 7

Conclusão lógica: encontrei duas matrizes elementares E e F tais que o produto EF não é elementar. Isso prova que a afirmação geral “o produto de duas matrizes elementares é uma matriz elementar” é falsa. (Observação final: em casos particulares o produto de duas elementares pode ser elementar — por exemplo, multiplicar duas matrizes que ambas escalem a mesma linha resulta numa escala única — mas não é verdade em geral.)

Resposta

Falsa. Contraexemplo: \displaystyle \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}, que não é matriz elementar.]

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