Exercício 1.5.36. Uma livraria vai doar 25 livros iguais a 5 bibliotecas municipais. Cada biblioteca deve receber pelo menos 3 livros. Qual o número de maneiras distintas que esta livraria poderá repartir os livros nessa doação?

Passo 1

Resumindo: queremos repartir 25 livros idênticos entre 5 bibliotecas distintas, de modo que cada biblioteca receba pelo menos 3 livros. Esse é um problema de distribuição de inteiros não-negativos, resolvido pelo método de “estrelas e barras”.

Passo 2

Seja xi o número de livros entregues à i-ésima biblioteca. Então
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 25,
com a restrição ,xi >= 3. Para eliminar o limite inferior, definimos
yi = xi - 3,
o que implica ,yi >= 0 e
y1 + y2 + y3 + y4 + y5 = 25 - 5cdot3 = 10

Passo 3

O número de soluções em inteiros não-negativos da equação acima é dado pela fórmula
binom10 + 5 - 15 - 1 = binom144 = 1001

Resposta

,1001

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