Exercício 36. Se X é uniformemente distribuída no intervalo (0,1), calcule a probabilidade de:
|X-3|<4

Passo 1

O enunciado diz que temos uma variável aleatória contínua X uniformemente distribuída em (0,1), ou seja, X ~ U(0,1). Precisamos calcular a probabilidade P(|X−3|<4). O conteúdo aqui é probabilidade para distribuições contínuas uniformes, onde se usa a ideia de comprimento de intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir a condição |X−3|<4 em uma desigualdade simples. Lembrando que |Y|<a equivale a −a<Y<a, temos:
-4 < X-3 < 4
Agora somamos 3 em todos os termos para isolar X:
-4 + 3 < X < 4 + 3
-1 < X < 7

Passo 3

Porém, X só pode assumir valores em (0,1). Então a região válida para X satisfazer ambas as condições é a interseção de (−1,7) com (0,1), que é exatamente (0,1).

Passo 4

Como X está uniformemente distribuída em (0,1), a probabilidade de X cair em todo o seu suporte é a razão entre o comprimento do intervalo de interesse e o comprimento total do suporte. Aqui o intervalo de interesse é (0,1) e o suporte também é (0,1), logo:
P(X in (0,1)) = 1 - 01 - 0 = 1

Resposta

1

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