Exercício 39. Calcule \iint_{D} 4 d x d y, onde D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2}+6 y \leq 0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} 4\,dx\,dy,
onde a região D é dada por
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}+y^{2}+6y \leq 0\}.
Resumo do que temos e do que é pedido:
  • Dado: a desigualdade x^{2}+y^{2}+6y \leq 0.
  • Pedido: o valor da integral dupla \iint_{D} 4\,dx\,dy (integrando a função constante 4 sobre D).

Passo 2

Vamos entender a região D manipulando a desigualdade. Primeiro completamos o quadrado em y:
x^{2}+y^{2}+6y = x^{2}+\bigl(y^{2}+6y\bigr).
Para completar o quadrado em y usamos que y^{2}+6y=(y+3)^{2}-9. Substituindo:
x^{2}+y^{2}+6y = x^{2}+(y+3)^{2}-9.
Logo a desigualdade x^{2}+y^{2}+6y \leq 0 fica
x^{2}+(y+3)^{2}-9 \leq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+(y+3)^{2} \leq 9.

Passo 3

A desigualdade \;x^{2}+(y+3)^{2}\leq 9\; descreve exatamente o disco fechado de centro (0,-3) e raio 3. Em outras palavras:
D=\{(x,y)\mid (x-0)^{2}+(y+3)^{2}\le 3^{2}\}.
Portanto D é um disco (região circular) com raio r=3.

Passo 4

Agora ligamos isso à integral. Uma propriedade simples e muito útil:
se c é constante e D tem área \operatorname{Area}(D), então
\iint_{D} c\,dx\,dy = c\cdot \operatorname{Area}(D).
Isto decorre da definição de área via integral: \operatorname{Area}(D)=\iint_{D}1\,dx\,dy, então \iint_{D}c\,dx\,dy=c\iint_{D}1\,dx\,dy.
Aplicando aqui com c=4 obtemos
\iint_{D}4\,dx\,dy = 4\cdot \operatorname{Area}(D).

Passo 5

Calculamos a área do disco de raio r=3. A fórmula conhecida é
\operatorname{Area}(\text{disco de raio }r)=\pi r^{2}.
(se quiser uma justificativa rápida: em coordenadas polares a área é \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{r}\rho\,d\rho\,d\theta = 2\pi\cdot\dfrac{r^{2}}{2}=\pi r^{2}.)
Portanto
\operatorname{Area}(D)=\pi\cdot 3^{2} = 9\pi.

Passo 6

Substituindo na relação do Passo 4:
\iint_{D}4\,dx\,dy = 4\cdot \operatorname{Area}(D) = 4\cdot 9\pi.

Resposta

36\pi

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