Exercício 39. Calcule
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde a região
é dada por
Resumo do que temos e do que é pedido:
- Dado: a desigualdade
. - Pedido: o valor da integral dupla
(integrando a função constante sobre ).
Passo 2
Vamos entender a região
manipulando a desigualdade. Primeiro completamos o quadrado em
:
Para completar o quadrado em
usamos que
. Substituindo:
Logo a desigualdade
fica
Passo 3
A desigualdade
descreve exatamente o disco fechado de centro
e raio
. Em outras palavras:
Portanto
é um disco (região circular) com raio
.
Passo 4
Agora ligamos isso à integral. Uma propriedade simples e muito útil:
se é constante e
tem área
, então
se
Isto decorre da definição de área via integral:
, então
.
Aplicando aqui com
obtemos
Passo 5
Calculamos a área do disco de raio
. A fórmula conhecida é
(se quiser uma justificativa rápida: em coordenadas polares a área é
.)
Portanto
Passo 6
Substituindo na relação do Passo 4: